题目列表(包括答案和解析)
曲线C上的任意点到点F1(-2,0)和点F2(2,0)的距离之和等于.设直线l:y=kx+m与曲线C交于两点A、B,点M是曲线C与y轴正半轴的交点,且.
(1)求曲线C的方程;
(2)求证:直线l经过定点.
OA |
AB |
OB |
BF |
FA |
AM |
MN |
NB |
| ||
2 |
A、
| ||
B、
| ||
C、2 | ||
D、3 |
双曲线与椭圆有相同的焦点,且该双曲线
的渐近线方程为.
(1)求双曲线的标准方程;
(2) 过该双曲线的右焦点作斜率不为零的直线与此双曲线的左,右两支分别交于点、,
设,当轴上的点满足时,求点的坐标.
说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数.
2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.
3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分.
一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共10小题,每小题5分,满分50分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
D
C
B
A
D
A
C
B
10.方法1:由,得,
即.
于是,
所以.
方法2:由,得,
即.
于是,
则(其中),再利用导数的方法求解.
二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共5小题,每小题5分,满分20分.
11.760 12.12 13.3;-1 14. 15.3
三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.(本小题满分12分)
(本小题主要考查互斥事件等基础知识,考查运算求解能力)
解:记“甲射击一次,命中7环以下”为事件,“甲射击一次,命中7环”为事件,由于在一次射击中,与不可能同时发生,故与是互斥事件,
(1)“甲射击一次,命中不足8环”的事件为,
由互斥事件的概率加法公式,.
答:甲射击一次,命中不足8环的概率是0.22.…………………………………6分
(2)方法1:记“甲射击一次,命中8环”为事件,“甲射击一次,命中9环(含9环)以上”为事件,则“甲射击一次,至少命中7环”的事件为,
∴.
答:甲射击一次,至少命中7环的概率为0.9.…………………………………12分
方法2:∵“甲射击一次,至少命中7环”为事件,
∴=1-0.1=0.9.
答:甲射击一次,至少命中7环的概率为0.9.…………………………………12分
17.(本小题满分12分)
(本小题主要考查正弦定理、余弦定理、解三角形等基础知识,考查运算求解能力)
解:(1)由余弦定理,,………………………………………2分
得,…………………………………………………4分
.……………………………………………………………………………6分
(2)方法1:由余弦定理,得,………………………………8分
,………………………10分
∵是的内角,
∴.………………………………………………………12分
方法2:∵,且是的内角,
∴.………………………………………………………8分
根据正弦定理,,……………………………………………………10分
得. ……………………………………………12分
18.(本小题满分14分)
(本小题主要考查空间中线面关系,考查数形结合的数学思想和方法,以及空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力)
(1)证法1:如图,取的中点,连接,
∵分别为的中点,∴.
∵分别为的中点,∴.
∴.
∴四点共面.………………………………………………………………2分
∵分别为的中点,∴.……………………………………4分
∵平面,平面,
∴平面.……………………………………………………………………6分
证法2:∵分别为的中点,
∴,.……………………………………………………………2分
∵,∴.
∵,,∴平面平面. …………………5分
∵平面,∴平面. …………………………………………6分
(2)解:∵平面,平面,∴.
∵为正方形,∴.
∵,∴平面.……………………………………………8分
∵,,∴.……………10分
∵,
∴.…………………………………14分
19.(本小题满分14分)
(本小题主要考查椭圆方程的定义等基础知识,考查分类与整合、数形结合的数学思想方法,以及抽象概括能力、运算求解能力)
解:(1)根据椭圆的定义,可知动点的轨迹为椭圆,………………………………1分
其中,,则.………………………………………2分
所以动点M的轨迹方程为.………………………………………………4分
(2)当直线的斜率不存在时,不满足题意.………………………………………5分
当直线的斜率存在时,设直线的方程为,设,,
∵,∴.……………………………………………7分
∵,,
∴.
∴ .………… ① …………………………9分
由方程组
得.…………………………………………………11分
则,,
代入①,得.
即,解得,或.………………………………………………13分
所以,直线的方程是或.………………………………14分
20.(本小题满分14分)
(本小题主要考查函数与导数的概念、不等式及其性质等基础知识,考查分类讨论、化归与转化、数形结合的数学思想方法,以及抽象概括能力、逻辑推理能力、运算求解能力和创新意识)
解:(1)∵,且,…………………………………1分
当时,得;当时,得;
∴的单调递增区间为;
的单调递减区间为和.…………………………………3分
故当时,有极大值,其极大值为. …………………4分
(2)∵,
当时,,
∴在区间内是单调递减.…………………………………………6分
∴.
∵,∴
此时,.…………………………………………………………………………9分
当时,.
∵,∴即 ……11分
此时,.……………………………………………………………13分
综上可知,实数的取值范围为.…………………………………14分
21.(本小题满分14分)
(本小题主要考查等差数列、不等式及其性质等基础知识,考查分类讨论、化归与转化的数学思想方法,以及抽象概括能力、运算求解能力)
解:(1)由已知,(,), …………………2分
即(,),且.
∴数列是以为首项,公差为1的等差数列.
∴.……………………………………………………………………………4分
(2)∵,∴,要使恒成立,
∴恒成立,
∴恒成立,
∴恒成立.……………………………………………………………6分
(?)当为奇数时,即恒成立,…………………………………………7分
当且仅当时,有最小值为1,
∴.………………………………………………………………………………9分
(?)当为偶数时,即恒成立,………………………………………10分
当且仅当时,有最大值,
∴.……………………………………………………………………………12分
即,又为非零整数,则.
综上所述,存在,使得对任意,都有.…………………14分
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