(2)若时.恒有成立(其中是函数的导函数).试确定实数a的取值范围. 查看更多

 

题目列表(包括答案和解析)

已知函数f(x)=(1+x)t-1的定义域为(-1,+∞),其中实数t满足t≠0且t≠1.直线l:y=g(x)是f(x)的图象在x=0处的切线.
(1)求l的方程:y=g(x);
(2)若f(x)≥g(x)恒成立,试确定t的取值范围;
(3)若a1,a2∈(0,1),求证:
a
a1
1
+
a
a2
2
a
a2
1
+
a
a1
2

注:当α为实数时,有求导公式(xα)′=αxα-1

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设函数
(Ⅰ)求函数的极大值;
(Ⅱ)若时,恒有成立(其中是函数的导函数),试确定实数的取值范围.

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设函数

(Ⅰ)求函数的极大值;

(Ⅱ)若时,恒有成立(其中是函数的导函数),试确定实数的取值范围.

 

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如果函数f(x)同时满足下列条件:①在闭区间[a,b]内连续,②在开区间(a,b)内可导且其导函数为f′(x),那么在区间(a,b)内至少存在一点ξ(a<ξ<b),使得f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)成立,我们把这一规律称为函数f(x)在区间(a,b)内具有“Lg”性质,并把其中的ξ称为中值.有下列命题:
①若函数f(x)在(a,b)具有“Lg”性质,ξ为中值,点A(a,f(a)),B(b,f(b)),则直线AB的斜率为f′(ξ);
②函数y=在(0,2)内具有“Lg”性质,且中值ξ=,f′(ξ)=-
③函数f(x)=x3在(-1,2)内具有“Lg”性质,但中值ξ不唯一;
④若定义在[a,b]内的连续函数f(x)对任意的x1、x2∈[a,b],x1<x2,有[f(x1)+f(x2)]<f()恒成立,则函数f(x)在(a,b)内具有“Lg”性质,且必有中值ξ=
其中你认为正确的所有命题序号是    

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设函数
(Ⅰ)求函数的极大值;
(Ⅱ)若时,恒有成立(其中是函数的导函数),试确定实数的取值范围.

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说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数.

      2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.

      3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.

4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分.

一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共10小题,每小题5分,满分50分.

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

B

D

D

C

B

A

D

A

C

B

10.方法1:由,得

于是

所以

    方法2:由,得

于是

(其中),再利用导数的方法求解.

二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共5小题,每小题5分,满分20分.

11.760         12.12         13.3;-1         14.         15.3

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16.(本小题满分12分)

(本小题主要考查互斥事件等基础知识,考查运算求解能力)

解:记“甲射击一次,命中7环以下”为事件,“甲射击一次,命中7环”为事件,由于在一次射击中,不可能同时发生,故是互斥事件,

(1)“甲射击一次,命中不足8环”的事件为

由互斥事件的概率加法公式,

答:甲射击一次,命中不足8环的概率是0.22.…………………………………6分

(2)方法1:记“甲射击一次,命中8环”为事件,“甲射击一次,命中9环(含9环)以上”为事件,则“甲射击一次,至少命中7环”的事件为

答:甲射击一次,至少命中7环的概率为0.9.…………………………………12分

方法2:∵“甲射击一次,至少命中7环”为事件

=1-0.1=0.9.

答:甲射击一次,至少命中7环的概率为0.9.…………………………………12分

 

17.(本小题满分12分)

本小题主要考查正弦定理、余弦定理、解三角形等基础知识,考查运算求解能力

解:(1)由余弦定理,,………………………………………2分

,…………………………………………………4分

.……………………………………………………………………………6分

(2)方法1:由余弦定理,得,………………………………8分

,………………………10分

的内角,

.………………………………………………………12分

方法2:∵,且的内角,

.………………………………………………………8分

根据正弦定理,,……………………………………………………10分

. ……………………………………………12分

 

18.(本小题满分14分)

本小题主要考查空间中线面关系,考查数形结合的数学思想和方法,以及空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力

(1)证法1:如图,取的中点,连接

分别为的中点,∴

分别为的中点,∴

四点共面.………………………………………………………………2分

分别为的中点,∴.……………………………………4分

平面平面

平面.……………………………………………………………………6分

证法2:∵分别为的中点,

.……………………………………………………………2分

,∴

,∴平面平面. …………………5分

平面,∴平面. …………………………………………6分

(2)解:∵平面平面,∴

为正方形,∴

,∴平面.……………………………………………8分

,∴.……………10分

.…………………………………14分

19.(本小题满分14分)

本小题主要考查椭圆方程的定义等基础知识,考查分类与整合、数形结合的数学思想方法,以及抽象概括能力、运算求解能力

解:(1)根据椭圆的定义,可知动点的轨迹为椭圆,………………………………1分

    其中,则.………………………………………2分

所以动点M的轨迹方程为.………………………………………………4分

(2)当直线的斜率不存在时,不满足题意.………………………………………5分

当直线的斜率存在时,设直线的方程为,设

,∴.……………………………………………7分

    ∵

   ∴ .………… ①  …………………………9分

由方程组

.…………………………………………………11分

代入①,得

,解得,.………………………………………………13分

 所以,直线的方程是.………………………………14分

 

20.(本小题满分14分)

本小题主要考查函数与导数的概念、不等式及其性质等基础知识,考查分类讨论、化归与转化、数形结合的数学思想方法,以及抽象概括能力、逻辑推理能力、运算求解能力和创新意识

解:(1)∵,且,…………………………………1分

时,得;当时,得

的单调递增区间为

的单调递减区间为.…………………………………3分

故当时,有极大值,其极大值为. …………………4分

(2)∵

时,

在区间内是单调递减.…………………………………………6分

,∴

此时,.…………………………………………………………………………9分

时,

,∴ ……11分

此时,.……………………………………………………………13分

综上可知,实数的取值范围为.…………………………………14分

 

21.(本小题满分14分)

本小题主要考查等差数列、不等式及其性质等基础知识,考查分类讨论、化归与转化的数学思想方法,以及抽象概括能力、运算求解能力

解:(1)由已知,), …………………2分

),且

∴数列是以为首项,公差为1的等差数列.

.……………………………………………………………………………4分

(2)∵,∴,要使恒成立,

恒成立,

恒成立,

恒成立.……………………………………………………………6分

(?)当为奇数时,即恒成立,…………………………………………7分

当且仅当时,有最小值为1,

.………………………………………………………………………………9分

(?)当为偶数时,即恒成立,………………………………………10分

当且仅当时,有最大值

.……………………………………………………………………………12分

,又为非零整数,则

综上所述,存在,使得对任意,都有.…………………14分

 


同步练习册答案