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如图，已知多面体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁，它是由一个长方体ABCD﹣A'B'C'D'切割而成，这个长方体的高为b，底面是边长为a的正方形，其中顶点A₁，B₁，C₁，D₁均为原长方体上底面A'B'C'D'各边的中点．
（1）若多面体面对角线AC，BD交于点O，E为线段AA₁的中点，求证：OE∥平面A₁C₁C；
（2）若a=4，b=2，求该多面体的体积；
（3）当a，b满足什么条件时AD₁⊥DB₁，并证明你的结论．

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如图，在正方体ABCD－中，点O为底面对角线AC与BD的交点．

　　(1)求证：BD⊥；

　　(2)求证：BD⊥平面；

　　(3)求二面角－BD－的平面角的余弦值．

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如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的菱形，∠BCD=120°，PC⊥平面ABCD，PC=a，E为PA的中点，O为底面对角线的交点；
（1）求证：平面EDB⊥平面ABCD；
（2）求二面角的正切值．

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一．选择题：（本大共12小题,每小题5分,在每小题的四个选项中只有一个是正确的.）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

B

D

D

C

D

A

B

C

B

C

A

D

二、填空题（本大题4个小题，每小题4分，共16分，只填结果，不要过程）

13、         ³                   14、         9           

15、        ²⁴⁰                 16、                   

三．解答题（本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

17、证明：（1）连结，设

连结， 是正方体   是平行四边形

∥且                                        2分

又分别是的中点，∥且

是平行四边形                                         4分

∥面，面

∥面                                              6分

（2）面                              7分

又，                           

                                                  9分

同理可证，                                          11分

又

面                                             12分

18.解：（１）=3125；------4分（２）A=120； ------8分（３）=1200-----12分．

19.（1）连接EO,EO∥PC,又平面平面

平面平面               -----------------------------------------------------6分

（2）ABCD为菱形，，过O在平面OEB内作OFBE于F,连OF, AFO为二面角的平面角， tanAFO =                    -------12分

20.(1)   ---------4分

   .(2) ---------8分

   .(3) ---------12分

 21.解：（1）过A作BC的反向延长线的垂线，交于点E，连ED，

∵面ACB⊥面BCD，∴AE⊥面BCD   又AB=BC=BD，

∠ABC＝∠DBC＝120⁰

∴AE=ED=          ∴∠ADE= ----------4分

_{（2）过D作EC的平行线与过C平行于ED的直线交于F。}

_{由（1）知，EDFC为矩形} ∵DF⊥DE， ∴DF⊥AD，即BC⊥AD ∴ ₉₀₀-即为所求   ----8分

_{（3）过E作}EG⊥BD于G，连结AG

由三垂线定理知，AG⊥BD。由                                      ，            

 在Rt△AEG中，tan∠AGE=2, ∠AGE=arctan2

∴二面角A―BD―C的度数为 π－arctan2      -   -------12分

22. （1）∵B₁D⊥面ABC    ∴B₁D⊥AC

  又∵AC⊥BC 且B₁D∩BC=D ∴平面   -------4分

（2）连结B₁C和BC₁     ∵平面

∴B₁C ⊥BC₁  四边形是菱形   ---------6分

∵B₁D⊥BC  且D为的中点 ∴B₁C=BB₁=BC   ∴=  ------9分

（3）过C₁在平面内作C₁O∥B₁D,交BC的延长线于O点,

过O作OM⊥AB于M点,连结C₁M∴C₁O⊥平面_,∴C₁M⊥AB,   

∴∠OMC₁是二面角的平面角---------11分

设=3a ,  ∵

∴BD=a , C₁O= B₁D=a , BO=4a

∵∠CBA= _, ∴OM=a =B₁D , ∴∠OMC₁=

∴二面角的大小为     ---------14分