题目列表(包括答案和解析)
已知向量
=（
），
=（
,
），其中（
）．函数
，其图象的一条对称轴为
．
（I）求函数
的表达式及单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，S为其面积，若
=1，b=l，S△ABC=
，求a的值．
【解析】第一问利用向量的数量积公式表示出
，然后利用
得到
，从而得打解析式。第二问中，利用第一问的结论，表示出A，结合正弦面积公式和余弦定理求解a的值。
解：因为
由余弦定理得
，……11分故
如图,在三棱锥
中, 
,
,
为线段
的中点．
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）求二面角
的余弦值．
（本题满分10分）
在三棱柱
中，
底面
，
，且
，
．求二面角
的余弦值．
如图，正四棱柱
中，
，点
在
上且
．
（Ⅰ）证明：
平面
；
（Ⅱ）求二面角
的余弦值．
一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个备选项中，有且只有一项是符合要求的．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
A
A
C
B
B
C
A
二、 填空题：本大题共7小题，每小题5分，共30分．其中13～15小题是选做题，考生只能选做两题，若三题全答，则只计算前两题得分．
9．
10．
11．
12．②③ 13．
，
14．
，
15．
，
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16. 解：（Ⅰ）因为
，
，所以
．
因此，当
，即
（
）时，
取得最大值
；
（Ⅱ）由
及
得
，两边平方得
，即
．
因此，
．
17. 解：（Ⅰ）记“小球落入
袋中”为事件，“小球落入
袋中”为事件，则事件的对立事件为，而小球落入袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下，故
，
从而
；
（Ⅱ）显然，随机变量
，故
，
．
18. 
解： 建立如图所示的空间直角坐标系，
并设
，则
（Ⅰ）
，
，
所以
，从而得
；
（Ⅱ）设
是平面
的
法向量，则由
，
及
，
得
可以取
．
显然，
为平面
的法向量．
设二面角
的平面角为
，则此二面角的余弦值
．
19. 解：（Ⅰ）依题意，有
（
），化简得
（），
这就是动点
的轨迹
的方程；
（Ⅱ）依题意，可设
、
、
，则有
，
两式相减，得
，由此得点
的轨迹方程为
（
）．
设直线
：
（其中
），则
，
故由
，即
，解之得
的取值范围是
．
20. 解：（Ⅰ）依题意知：直线
是函数
在点处的切线，故其斜率
，
所以直线的方程为
．
又因为直线与
的图像相切，所以由
，
得
（
不合题意，舍去）；
（Ⅱ）因为
（
），所以
．
当
时，
；当
时，
．
因此，
在
上单调递增，在
上单调递减．
因此，当
时，取得最大值
；
（Ⅲ）当
时，
．由（Ⅱ）知：当时，
，即
．因此，有
．
21. 解：（Ⅰ）
，
，
；
（Ⅱ）依题意，得
，
，由此及
得
，
即
．
由（Ⅰ）可猜想：
（
）．
下面用数学归纳法予以证明：
（1）当
时，命题显然成立；
（2）假定当
时命题成立，即有
，则当
时，由归纳假设及
得
，即
，
解之得
（
不合题意，舍去），
即当时，命题成立．
由（1）、（2）知：命题成立．
（Ⅲ）
．
令
（
），则
，所以在
上是增函数，故当
时，取得最小值，即当时，
．
（
，
）
，即
（）
．
解之得，实数
的取值范围为
．
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