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如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD,DAB为直角，AB∥CD,AD=CD=2AB,E、F分别为PC、CD的中点.
（Ⅰ）试证：CD⊥平面BEF;
（Ⅱ）设PA＝k·AB，且二面角E-BD-C的平面角大于30°，求k的取值范围.

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如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PA＝AB＝2，M, N分别为PA, BC的中点．
（Ⅰ）证明：MN∥平面PCD；
（Ⅱ）求MN与平面PAC所成角的正切值．

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一、选择题 （每小题5分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

C

C

A

A

A

D

C

B

C

B

D

B

二、填空题（每小题5分）

13. 　　　14. 　　　15.8　　16. ①②③

三．解答题

17.解 (1)由得：，        ……………………………… 2分

即，      ……………… 4分

当时，，

　　因为，有，，得

 故          ……………………………  8分

(2)∵是奇函数，且将的图象先向右平移个单位，再向上平移1个单位，可以得到的图象，∴是满足条件的一个平移向量．……12分

18．解：设表示一个基本事件，则掷两次骰子包括：，，，，， ，，，……，，，共36个基本事件…………2分．

（1）用表示事件“”，则的结果有，，，共3个基本事． ∴．                         ………………6分

   （2）用表示事件“”，则的结果有，，，，，，，，共8个基本事件．       ………………9分

 ∴．                                ………………12分

19．(Ⅰ) 解法一：

（Ⅰ）证：由已知DF∥AB且DAD为直角，故ABFD是矩形，从而CDBF.  ……… 4分

又PA底面ABCD,CDAD，故知CDPD.在△PDC中，E、F分别PC、CD的中点，故EF∥PD,从而CDEF,由此得CD面BEF.

                                             ………7分

（Ⅱ）连结AC交BF于G.易知G为AC的中点.连接EG,则在△PAC中易知EC∥PA.又因PA底面ABCD,故BC底面ABCD.在底面ABCD中，过C作GHBD,垂足为H,连接EH.由三垂线定理知EHBD.从而EHG为二面角E-BD-C的平面角.         ………8分

设AB=a,则在△PAC中，有

BG=PA=ka.

以下计算GH，考察底面的平面图（如答(19)图２）.连结GD.

因S_△CBD=BD?GH=GB?OF.故GH=.

在△ABD中，因为AB＝a,AD=2A,得BD=a

而GB=FB=AD-a.DF-AB,从而得GH== ＝

因此tanEHG==              ………10分

由k＞0知是锐角，故要使＞，必须＞tan=

解之得，k的取值范围为k＞                      ………12分

解法二：

（Ⅰ）如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为：轴建立空间直角坐标系，设AB=a,则易知点A,B,C,D,F的坐标分别为

A(0,0,0),B(a,0,0),C(2a,2a,0),D(0,2a,0),

F(a,2a,0).

从而=(2a,0,0), =(0,2a,0), 　　　　

?=0,故  .

设PA=b,则P(0,0,b),而E为PC中点.故         第（20）

?=0,故.

由此得CD面BEF.

（Ⅱ）设E在xOy平面上的投影为G，过G作GHBD垂足为H,由三垂线定理知EHBD.

从而EHG为二面角E-BD-C的平面角.

由PA＝k?AB得P(0,0,ka),E,G(a,a,0).设H(x,y,0)，则=(x-a,y-a,0), =(-a,2a,0),由?=0得=a(x-a)+2a(y-a)=0,即x-2y=-a     

①又因=(x,a,y,0),且与的方向相同，故＝，即2x+y=2a      ②由①②解得x=a,y=a,从而＝，｜｜＝a.

tanEHG===.由k＞0知，EHC是锐角，由EHC＞得tanEHG＞tan即＞故k的取值范围为k＞.

20．解

（1）当n = 1时，解出a₁ = 3, （a₁ = 0舍）

    又4S_n = a_n² + 2a_n－3              ①

当时    4s_n－1 =  + 2a_n-1－3    ②  

……………………………… 2分

    ①－②  , 即，

    ∴ ,……………………………… 4分

    （），

    是以3为首项，2为公差的等差数列， 

    ． ……………………………… 6分

   （2）  ③

    又 ④…………………… 8分

    ④－③

      ……………………………… 12分

   21．解：（1）

……………………………… 2分

    恒成立

    即恒成立

    显然时，上式不能恒成立

    是二次函数

    由于对一切于是由二次函数的性质可得

    ……………………………… 4分

    即

     ．……………………………… 6分

（2）

    即

……………………………… 12分

    当，

当．……………………………… 12分

22．解（1）设，代入得，

化简得．                     ……………………………… 4分

(2)直线与圆相切,证明(略)             ……………………………… 8分

（3）将代入得，点的坐标为．

设直线的方程为代入，得，

由