故为二面角的平面角. 查看更多

 

题目列表(包括答案和解析)

如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AC⊥AD,AB⊥BC,∠BAC=45°,PA=AD=2,AC=1.

(Ⅰ)证明PC⊥AD;

(Ⅱ)求二面角A-PC-D的正弦值;

(Ⅲ)设E为棱PA上的点,满足异面直线BE与CD所成的角为30°,求AE的长.

 

【解析】解法一:如图,以点A为原点建立空间直角坐标系,依题意得A(0,0,0),D(2,0,0),C(0,1,0), ,P(0,0,2).

(1)证明:易得于是,所以

(2) ,设平面PCD的法向量

,即.不防设,可得.可取平面PAC的法向量于是从而.

所以二面角A-PC-D的正弦值为.

(3)设点E的坐标为(0,0,h),其中,由此得.

,故 

所以,,解得,即.

解法二:(1)证明:由,可得,又由,,故.又,所以.

(2)如图,作于点H,连接DH.由,,可得.

因此,从而为二面角A-PC-D的平面角.在中,,由此得由(1)知,故在中,

因此所以二面角的正弦值为.

(3)如图,因为,故过点B作CD的平行线必与线段AD相交,设交点为F,连接BE,EF. 故或其补角为异面直线BE与CD所成的角.由于BF∥CD,故.在中,

中,由,,

可得.由余弦定理,,

所以.

 

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如图,三棱锥中,侧面底面, ,且,.(Ⅰ)求证:平面;

(Ⅱ)若为侧棱PB的中点,求直线AE与底面所成角的正弦值.

【解析】第一问中,利用由知, ,

又AP=PC=2,所以AC=2,

又AB=4, BC=2,,所以,所以,即,

又平面平面ABC,平面平面ABC=AC, 平面ABC,

平面ACP,所以第二问中结合取AC中点O,连接PO、OB,并取OB中点H,连接AH、EH,因为PA=PC,所以PO⊥AC,同(Ⅰ)易证平面ABC,又EH//PO,所以EH平面ABC ,

为直线AE与底面ABC 所成角,

 (Ⅰ) 证明:由用由知, ,

又AP=PC=2,所以AC=2,

又AB=4, BC=2,,所以,所以,即,

又平面平面ABC,平面平面ABC=AC, 平面ABC,

平面ACP,所以

………………………………………………6分

(Ⅱ)如图, 取AC中点O,连接PO、OB,并取OB中点H,连接AH、EH,

因为PA=PC,所以PO⊥AC,同(Ⅰ)易证平面ABC,

又EH//PO,所以EH平面ABC ,

为直线AE与底面ABC 所成角,

………………………………………10分

又PO=1/2AC=,也所以有EH=1/2PO=,

由(Ⅰ)已证平面PBC,所以,即,

,

于是

所以直线AE与底面ABC 所成角的正弦值为

 

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如图,在三棱柱中,侧面为棱上异于的一点,,已知,求:

(Ⅰ)异面直线的距离;

(Ⅱ)二面角的平面角的正切值.

【解析】第一问中,利用建立空间直角坐标系

解:(I)以B为原点,分别为Y,Z轴建立空间直角坐标系.由于,

在三棱柱中有

,

侧面,故. 因此是异面直线的公垂线,则,故异面直线的距离为1.

(II)由已知有故二面角的平面角的大小为向量的夹角.

 

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如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,E∈BB1,截面A1EC⊥侧面AC1
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(1)求证:BE=EB1
(2)若AA1=A1B1;求平面A1EC与平面A1B1C1所成二面角(锐角)的度数.
注意:在下面横线上填写适当内容,使之成为(Ⅰ)的完整证明,并解答(Ⅱ).
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(1)证明:在截面A1EC内,过E作EG⊥A1C,G是垂足.
①∵
 

∴EG⊥侧面AC1;取AC的中点F,连接BF,FG,由AB=BC得BF⊥AC,
②∵
 

∴BF⊥侧面AC1;得BF∥EG,BF、EG确定一个平面,交侧面AC1于FG.
③∵
 

∴BE∥FG,四边形BEGF是平行四边形,BE=FG,
④∵
 

∴FG∥AA1,△AA1C∽△FGC,
⑤∵
 

FG=
1
2
AA1=
1
2
BB1
,即BE=
1
2
BB1,故BE=EB1

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如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,E∈BB1截面A1EC⊥侧面AC1.

(Ⅰ)求证:BE=EB1;

(Ⅱ)若AA1=A1B1;求平面A1EC与平面A1B1C1所成二面角(锐角)的度数.

注意:在下面横线上填写适当内容,使之成为(Ⅰ)的完整证明,并解答(Ⅱ).

(Ⅰ)证明:在截面A1EC内,过E作EG⊥A1C,G是垂足.

① ∵                                     

 ∴EG⊥侧面AC1;取AC的中点F,连结BF,FG,由AB=BC得BF⊥AC,

② ∵                             

 ∴BF⊥侧面AC1;得BF∥EG,BF、EG确定一个平面,交侧面AC1于FG.

③ ∵                      

 ∴BE∥FG,四边形BEGF是平行四边形,BE=FG,

④ ∵                            

 ∴FG∥AA1,△AA1C∽△FGC,

⑤ ∵                    

,故

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