题目列表(包括答案和解析)
已知曲线的参数方程是(是参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线:的极坐标方程是=2,正方形ABCD的顶点都在上,且A,B,C,D依逆时针次序排列,点A的极坐标为(2,).
(Ⅰ)求点A,B,C,D的直角坐标;
(Ⅱ)设P为上任意一点,求的取值范围.
【命题意图】本题考查了参数方程与极坐标,是容易题型.
【解析】(Ⅰ)由已知可得,,
,,
即A(1,),B(-,1),C(―1,―),D(,-1),
(Ⅱ)设,令=,
则==,
∵,∴的取值范围是[32,52]
如图,四棱锥S—ABCD中,SD⊥底面ABCD,AB∥DC,AD⊥DC,AB=AD=1,DC=SD=2,E为棱SB上的三等分点,SE=2EB
(Ⅰ)证明:平面EDC⊥平面SBC.(Ⅱ)求二面角A—DE—C的大小 .
【解析】本试题主要考查了立体几何中的运用。
(1)证明:因为SD⊥底面ABCD,AB∥DC,AD⊥DC,AB=AD=1,DC=SD=2,E为棱SB上的三等分点,SE=2EB 所以ED⊥BS,DE⊥EC,所以ED⊥平面SBC.,因此可知得到平面EDC⊥平面SBC.
(Ⅱ)由SA2= SD2+AD2 = 5 ,AB=1,SE=2EB,AB⊥SA,知
AE2= (1 /3 SA)2+(2/ 3 AB)2 =1,又AD=1.
故△ADE为等腰三角形.
取ED中点F,连接AF,则AF⊥DE,AF2= AD2-DF2 =.
连接FG,则FG∥EC,FG⊥DE.
所以,∠AFG是二面角A-DE-C的平面角.
连接AG,AG= 2 ,FG2= DG2-DF2 =,
cos∠AFG=(AF2+FG2-AG2 )/2⋅AF⋅FG =-1 /2 ,
所以,二面角A-DE-C的大小为120°
已知a、b、c是互不相等的非零实数.若用反证法证明三个方程ax2+2bx+c=0,bx2+2cx+a=0,cx2+2ax+b=0至少有一个方程有两个相异实根.
【解析】本试题主要考查了二次方程根的问题的综合运用。运用反证法思想进行证明。
先反设,然后推理论证,最后退出矛盾。证明:假设三个方程中都没有两个相异实根,
则Δ1=4b2-4ac≤0,Δ2=4c2-4ab≤0,Δ3=4a2-4bc≤0
相加有a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+c2-2ac+a2≤0,
(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≤0.显然不成立。
证明:假设三个方程中都没有两个相异实根,
则Δ1=4b2-4ac≤0,Δ2=4c2-4ab≤0,Δ3=4a2-4bc≤0.
相加有a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+c2-2ac+a2≤0,
(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≤0. ①
由题意a、b、c互不相等,∴①式不能成立.
∴假设不成立,即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根.
为了了解某市工人开展体育活动的情况,拟采用分层抽样的方法从A,B,C三个区中抽取7个工厂进行调查,已知A,B,C区中分别有18,27,18个工厂
(Ⅰ)从A,B,C区中分别抽取的工厂个数;
(Ⅱ)若从抽取的7个工厂中随机抽取2个进行调查结果的对比,计算这2个工厂中至少有1个来自A区的概率.
【解析】本试题主要考查了统计和概率的综合运用。
第一问工厂总数为18+27+18=63,样本容量与总体中的个体数比为7/63=1/9…3分
所以从A,B,C三个区中应分别抽取的工厂个数为2,3,2。
第二问设A1,A2为在A区中的抽得的2个工厂,B1,B2,B3为在B区中抽得的3个工厂,
C1,C2为在C区中抽得的2个工厂。
这7个工厂中随机的抽取2个,全部的可能结果有1/2*7*6=32种。
随机的抽取的2个工厂至少有一个来自A区的结果有A1,A2),A1,B2),A1,B1),
A1,B3)A1,C2),A1,C1), …………9分
同理A2还能给合5种,一共有11种。
所以所求的概率为p=11/21
已知三棱锥P—ABC中,PC⊥底面ABC,,,二面角P-AB-C为,D、F分别为AC、PC的中点,DE⊥AP于E.
(Ⅰ)求证:AP⊥平面BDE;
(Ⅱ)求直线EB与平面PAC所成的角。
【解析】本试题主要考查了线面的垂直问题以及线面角的求解的综合运用。
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