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设M是由满足下列条件的函数构成的集合：①方程，有实数根②函数的导数满足.
(I) 若函数为集合M中的任意一个元素，证明：方程只有一个实数根；
(II) 判断函数是否是集合M中的元素,并说明理由；
(III) 设函数为集合M中的任意一个元素，对于定义域中任意，当,且时,证明：.

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一、选择题：

1．C 2．D3．A4．C 5．C6．A7．B  8．D9．B10．D11．B 12．B

二、填空题：

13、  14、  15、1   16、一   17、4  18、56  19、  20、 21、 22、4/9  23、②  24、 25、 26、①

三、解答题：

16、解: (Ⅰ),  

 ∴，

 解得．

(Ⅱ)由,得：,   

∴   

∴

17、解：（1）

则的最小正周期，  

且当时单调递增．

即为的单调递增区间（写成开区间不扣分）．………6分

（2）当时，当，即时．

所以．     

为的对称轴．    

18、解：（Ⅰ）解法一：“有放回摸两次，颜色不同”指“先白再黑”或“先黑再白”，记“有放回摸球两次，两球恰好颜色不同”为事件，

∵“两球恰好颜色不同”共种可能，

∴．

解法二：“有放回摸取”可看作独立重复实验，

∵每次摸出一球得白球的概率为．

∴“有放回摸两次，颜色不同”的概率为．

（Ⅱ）设摸得白球的个数为，依题意得：

，

，

．

∴，

．

19、(Ⅰ)证明:  连结，与交于点，连结. 

是菱形, ∴是的中点.

  点为的中点, ∴.   

平面平面, ∴平面.

(Ⅱ)解法一:

 平面,平面,∴ .

，∴. 

是菱形,  ∴.

，

∴平面.

作，垂足为，连接，则,

所以为二面角的平面角.

,∴，.

在Rt△中,=，

∴.

∴二面角的正切值是.

解法二：如图，以点为坐标原点，线段的垂直平分线所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，令，

则，,．

∴． 

设平面的一个法向量为,

由，得，

令，则，∴.   

平面,平面,

∴. 

，∴.

是菱形,∴.

，∴平面.

∴是平面的一个法向量,．

∴，

∴， 

∴．

∴二面角的正切值是.

20、解:圆的方程为,则其直径长,圆心为,设的方程为,即,代入抛物线方程得:,设，

有,  

则. 

故 …6分

,

因此.   

据等差,_, 

所以_，即,_，分

即：方程为或. 

21、解：（1）因为，

所以，满足条件.  

又因为当时，，所以方程有实数根．

所以函数是集合M中的元素．

（2）假设方程存在两个实数根），

则，

不妨设，根据题意存在数

使得等式成立， 

因为，所以，与已知矛盾，

所以方程只有一个实数根；

（3）不妨设，因为所以为增函数，所以，

  又因为，所以函数为减函数，

  所以，

所以，即，

所以．