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    (Ⅱ)集合M中的元素具有下面的性质:若的定义域为D.则对于任意[m.n]D.都存在[m.n].使得等式成立 .试用这一性质证明:方程只有一个实数根, 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    设M是由满足下列条件的函数构成的集合：“①方程有实数根；②函数的导数满足.”

    （1）判断函数是否是集合M中的元素，并说明理由；

    （2）集合M中的元素具有下面的性质：若的定义域为D，则对于任意，都存在，使得等式成立”，试用这一性质证明：方程只有一个实数根；

    （3）设是方程的实数根，求证：对于定义域中任意的，当，且时，.

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    设M是由满足下列条件的函数构成的集合：“①方程有实数根；②函数的导数满足.”

       （I）判断函数是否是集合M中的元素，并说明理由；

       （II）集合M中的元素具有下面的性质：若的定义域为D，则对于任意

    [m，n]D，都存在[m，n]，使得等式成立”，

    试用这一性质证明：方程只有一个实数根；

       （III）设是方程的实数根，求证：对于定义域中任意的.

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    设M是由满足下列条件的函数构成的集合：“①方程有实数

    根；②函数”[来源:学+科+网Z+X+X+K]

    （I）判断函数是否是集合M中的元素，并说明理由；

    （II）集合M中的元素具有下面的性质：若 的定义域为D，则对于任意

    成立。试用这一性

    质证明：方程只有一个实数根；

    （III）对于M中的函数 的实数根，求证：对于定义

    域中任意的当且

     

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    设M是由满足下列条件的函数f（x）构成的集合：“①方程f（x）-x=0有实数根；②函数f（x）的导数f′（x）满足0＜f′（x）＜1”．
    （Ⅰ）判断函数f(x)=
    x
    2
    +
    sinx
    4
    是否是集合M中的元素，并说明理由；
    （Ⅱ）集合M中的元素f（x）具有下面的性质：若f（x）的定义域为D，则对于任意[m，n]⊆D，都存在x0∈[m，n]，使得等式f（n）-f（m）=（n-m）f'（x0）成立”，试用这一性质证明：方程f（x）-x=0只有一个实数根；
    （Ⅲ）设x1是方程f（x）-x=0的实数根，求证：对于f（x）定义域中任意的x2、x3，当|x2-x1|＜1，且|x3-x1|＜1时，|f（x3）-f（x2）|＜2．

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    设M是由满足下列条件的函数f（x）构成的集合：“①方程f（x）-x=0有实数根；②函数f（x）的导数f′（x）满足
    0＜f′（x）＜1”
    （I）证明：函数f（x）=
    3x
    4
    +
    x3
    3
    （0≤x＜
    1
    2
    ）是集合M中的元素；
    （II）证明：函数f（x）=
    3x
    4
    +
    x3
    3
    （0≤x＜
    1
    2
    ）具有下面的性质：对于任意[m，n]⊆[0，
    1
    2
    ），都存在xo∈（m，n），使得等式f（n）-f（m）=（n-m）f′（xo）成立．
    （III）若集合M中的元素f（x）具有下面的性质：若f（x）的定义域为D，则对于任意[m，n]⊆D，都存在xo∈（m，n），使得等式f（n）-f（m）=（n-m）f′（xo）成立．试用这一性质证明：对集合M中的任一元素f（x），方程f（x）-x=0只有一个实数根．

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    一、选择题：

    1．C 2．D3．A4．C 5．C6．A7．B  8．D9．B10．D11．B 12．B

    二、填空题：

    13、  14、  15、1   16、一   17、4  18、56  19、  20、 21、 22、4/9  23、②  24、 25、 26、①

    三、解答题：

    16、解: (Ⅰ),  

     ∴，

     解得．

    (Ⅱ)由,得：,   

    ∴   

    ∴

    17、解：（1）

    则的最小正周期，  

    且当时单调递增．

    即为的单调递增区间（写成开区间不扣分）．………6分

    （2）当时，当，即时．

    所以．     

    为的对称轴．    

    18、解：（Ⅰ）解法一：“有放回摸两次，颜色不同”指“先白再黑”或“先黑再白”，记“有放回摸球两次，两球恰好颜色不同”为事件，

    ∵“两球恰好颜色不同”共种可能，

    ∴．

    解法二：“有放回摸取”可看作独立重复实验，

    ∵每次摸出一球得白球的概率为．

    ∴“有放回摸两次，颜色不同”的概率为．

    （Ⅱ）设摸得白球的个数为，依题意得：

    ，

    ，

    ．

    ∴，

    ．

    19、(Ⅰ)证明:  连结，与交于点，连结. 

    是菱形, ∴是的中点.

      *点为的中点, ∴.   

    平面平面, ∴平面.

    (Ⅱ)解法一:

     平面,平面,∴ .

    ，∴. 

    是菱形,  ∴.

    ，

    ∴平面.

    作，垂足为，连接，则,

    所以为二面角的平面角.

    ,∴，.

    在Rt△中,=，

    ∴.

    ∴二面角的正切值是.

    解法二：如图，以点为坐标原点，线段的垂直平分线所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，令，

    则，,．

    ∴． 

    设平面的一个法向量为,

    由，得，

    令，则，∴.   

    平面,平面,

    ∴. 

    ，∴.

    是菱形,∴.

    ，∴平面.

    ∴是平面的一个法向量,．

    ∴，

    ∴， 

    ∴．

    ∴二面角的正切值是.

    20、解:圆的方程为,则其直径长,圆心为,设的方程为,即,代入抛物线方程得:,设，

    有,  

    则. 

    故 …6分

    ,

    因此.   

    据等差,, 

    所以，即,，分

    即：方程为或. 

    21、解：（1）因为，

    所以，满足条件.  

    又因为当时，，所以方程有实数根．

    所以函数是集合M中的元素．

    （2）假设方程存在两个实数根），

    则，

    不妨设，根据题意存在数

    使得等式成立， 

    因为，所以，与已知矛盾，

    所以方程只有一个实数根；

    （3）不妨设，因为所以为增函数，所以，

      又因为，所以函数为减函数，

      所以，

    所以，即，

    所以． 

     

     


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