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    题目列表(包括答案和解析)

    （本小题满分14分）

    已知函数。

    （1）证明：

    （2）若数列的通项公式为，求数列 的前项和；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

    （3）设数列满足：，设，

    若（2）中的满足对任意不小于2的正整数，恒成立，

    试求的最大值。

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    （本小题满分14分）已知，点在轴上，点在轴的正半轴，点在直线上，且满足，. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

    （Ⅰ）当点在轴上移动时，求动点的轨迹方程；

    （Ⅱ）过的直线与轨迹交于、两点，又过、作轨迹的切线、，当，求直线的方程.

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    （本小题满分14分）设函数

     （1）求函数的单调区间；

     （2）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

     （3）若关于的方程在区间上恰好有两个相异的实根，求实数的取值范围。

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    （本小题满分14分）

    已知，其中是自然常数，

    （1）讨论时, 的单调性、极值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

    （2）求证：在（1）的条件下，；

    （3）是否存在实数，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

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    （本小题满分14分）

    设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记。

    （I）求数列的通项公式；

    （II）记，设数列的前项和为，求证：对任意正整数都有；

    （III）设数列的前项和为。已知正实数满足：对任意正整数恒成立，求的最小值。

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    一、选择题

    1,3,5

    2．B 利用数形结合求解，令的交点个数.

    3．C 解析：取满足可得答案C.

    4．B 解析：取答案各区间的特点值代入检验即可.

    5．D 解析：B、C的函数周期为2，不合题意，A的函数在区间上为增函数，不合题意

    6．D 解析：由a1=2知答案A不正确，再由a1+a2=S2=4a2­可得答案B、C不正确

    7．A 解析：

         ，故选A.

    8．A 解析：

         =2k+，故选A.

    9．D 解析：满足

          ，故a的取值范围是，故选D.

    10．B 解析：①、②正确，③、④错误，因为③、④中对于虚数的情况没有大小关系，故选B.

    二、填空题

    11．答案：1－i   解析：

    12．答案：81     解析：

    13．答案：   解析：∵，当且仅当时取等号.

    14．答案：18     解析：每行的数字取值从（n－1）2+1到n2，而172<300<182，故300在第18行.

    三、解答题：

    15．解：∵，

        ∴命题P为真时

    命题P为假时

    命题Q为真时，

    命题Q为假时

    由“P\/Q”为真且“P/\Q”为假，知P、Q有且只有一个正确.

    情形（1）：P正确，且Q不正确

    情形（2）：P不正确，且Q正确

    综上，a取值范围是

    另解：依题意，命题P为真时，0<a<1

    曲线轴交于两点等价于，

    得   故命题Q为真时，

    由“P\/Q”为真且“P/\Q”为假，知P、Q有且只有一个正确.

    等价于P、Q为真时在数轴表示图形中有且只有一个阴影的部分.

    （注：如果答案中端点取了开区间，扣2分）

    16．解：设此工厂应分别生产甲、乙两种产品x吨、y吨. 获得利润z万元

        作出可行域如右图

    利润目标函数z=6x+12y

    由几何意义知当直线l：z=6x+12y，经过可行域上的点M时，z=6x+12y取最大值.

    解方程组 ，得M（20，24） 

    答：生产甲种产品20t，乙种产品24t，才能使此工厂获得最大利润

    17．解：（Ⅰ）∵A+B+C=180°

        由 

        ∴  

        整理，得      解得：  

        ∵    ∴C=60° 

    （Ⅱ）由余弦定理得：c2=a2+b2－2abcosC，即7=a2+b2－2ab

    ∴=25－3ab 

    ∴  

    18．解：（1）由条件得： 

    （2） ①

    ∴6Tn=6+6×62+11×63+…+（5n－4）6n  ②

    ①－②：

    ∴ 

    19．解：设AM的长为x米(x>3)

    ∴  …………3分

    （Ⅰ）由SAMPN>32得，

    ∵

    即AM长的取值范围是（3，4）

    （Ⅱ）令

    ∴当上单调递增，x<6，，函数在（3，6）上单调递减

    ∴当x=6时，取得最小值即SAMPN取得最小值24（平方米）

    此时|AM|=6米，|AN|=4米 

        答：当AM、AN的长度分别是6米、4米时，矩形AMPN的面积最小，最小面积是24平方米.   

        另解：以AM、AN分别为x、y轴建立直角坐标系，

    设

    由C在直线MN上得

    ∴

    ∴AM的长取值范围是（3，4）

    （Ⅱ）∵时等号成立.

    ∴|AM|=6米，|AN|=4米时，SAMPN达到最小值24

    答：当AM、AN的长度分别是6米、4米时，矩形AMPN的面积最小，最小面积是24平方米.

    20．解：（1）设x<0，则－x>0

    ∵为偶函数，  ∴

    （2）∵为偶函数，∴=0的根关于0对称.

    由=0恰有5个不同的实数解，知5个实根中有两个正根，二个负根，一个零根.

    且两个正根和二个负根互为相反数

    ∴原命题图像与x轴恰有两个不同的交点

    下面研究x>0时的情况

    ∵

    即 为单调增函数，故不可能有两实根

    ∴a>0  令

    当递减，

    ∴处取到极大值

    又当

    要使轴有两个交点当且仅当>0

    解得，故实数a的取值范围（0，）

    方法二：

    （2）∵为偶函数， ∴=0的根关于0对称.

    由=0恰有5个不同的实数解知5个实根中有两个正根，二个负根，一个零根.

    且两个正根和二个负根互为相反数

    ∴原命题图像与x轴恰有两个不同的交点

    下面研究x>0时的情况

    与直线交点的个数.

    ∴当时，递增与直线y=ax下降或是x国，

    故交点的个数为1，不合题意  ∴a>0

    设切点

    ∴切线方为 

    由切线与y=ax重合知

    故实数a的取值范围为（0，）

     

     

     

     

     


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