20090520
由余弦定理,得
,所以
, ……10分
解方程组
,得
.
……12分
18.解:记 “过第一关”为事件A,“第一关第一次过关”为事件A1,“第一关第二次过关”为事件A2;“过第二关”为事件B, “第二关第一次过关”为事件B1,“第二关第二次过关”为事件B2;
(Ⅰ)该同学获得900元奖金,即该同学顺利通过第一关,但未通过第二关,则所求概率为

.
……………………………3分
(Ⅱ)该同学通过第一关的概率为:
, ……………………5分
该同学通过第一、二关的概率为:

, ………………………7分
∴ 在该同学已顺利通过第一关的条件下,他获3600元奖金的概率是
. ………………………………………………………8分
(Ⅲ)该同学获得奖金额
可能取值为:0 元,900 元, 3600 元.………9分
, ……………………………10分
,
,
(另解:
=1-
-
=
)
∴
. ……12分
19.(本题满分12分)
解: (Ⅰ)当
为
中点时,有
∥平面
.…1分
证明:连结
连结
,
∵四边形
是矩形 ∴
为
中点
∵
∥平面
,
且
平面
,
平面
∴
∥
,------------------4分
∴
为
的中点.------------------5分
(Ⅱ)建立空间直角坐标系
如图所示,
则
,
,
,

,
------------7分
所以
设
为平面
的法向量,
则有
,
即
令
,可得平面
的一个
法向量为
, ----------------9分
而平面
的法向量为
, ---------------------------10分
所以
,
所以二面角
的余弦值为
----------------------------12分
20.(Ⅰ)设椭圆C的方程为
,
则由题意知
.
∴
∴
.
∴椭圆C的方程为
……………………4分
(Ⅱ)假设右焦点
可以为
的垂心,
,∴直线
的斜率为
,
从而直线
的斜率为1.设其方程为
, …………………………………5分
联立方程组
,
整理可得:
……………6分.
,∴
设
,则
,
.……………7分
于是 

解之得
或
.
……………10分
当
时,点
即为直线
与椭圆的交点,不合题意;
当
时,经检验知
和椭圆相交,符合题意.
所以,当且仅当直线
的方程为
时,
点
是
的垂心.…………12分
21.解:(Ⅰ)
的导数
令
,解得
;令
,
解得
.………………………2分
从而
在
内单调递减,在
内单调递增.
所以,当
时,
取得最小值
.……………………………5分
(II)因为不等式
的解集为P,且
,
所以,对任意的
,不等式
恒成立,……………………………6分
由
,得
当
时,上述不等式显然成立,故只需考虑
的情况。………………7分
将
变形为
………………………………………………8分
令
,则
令
,解得
;令
,
解得
.…………………………10分
从而
在
内单调递减,在
内单调递增.
所以,当
时,
取得最小值
,从而,
所求实数
的取值范围是
.………………12分
22.解:(Ⅰ)当
时,
∴




(Ⅱ)在
中,
在
中,
,
当
时,
中第
项是
,
而
中的第
项是
,
所以
中第
项与
中的第
项相等.
当
时,
中第
项是
,
而
中的第
项是
,
所以
中第
项与
中的第
项相等.
∴ 
.
(Ⅲ)


+


.
当且仅当
或
,等号成立.
∴当
或
时,
最小.