如图，五面体中，．底面是正三角形，．四边形是矩形，二面角为直二面角．

（Ⅰ）在上运动，当在何处时，有∥平面，并且说明理由；

（Ⅱ）当∥平面时，求二面角余弦值．

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如图，五面体中，．底面是正三角形，．四边形是矩形，二面角为直二面角．

（Ⅰ）若是中点，求证：∥平面；

（Ⅱ）求该五面体的体积.

 

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一、选择题

AACCD   BBDDD   AC

二、填空题

13．    14．T₁₃    15．①⑤    16．

三、解答题

17．解：（Ⅰ）因为，

由正弦定理，得，              ……3分

整理，得

因为、、是的三内角，所以，    

因此  ．                                                 ……6分

   （Ⅱ），即，                ……8分

由余弦定理，得，所以，      ……10分

解方程组，得 ．                       ……12分

18．（本题满分12分）

解法一：记与的比赛为，

  （Ⅰ）齐王与田忌赛马，有如下六种情况：

，,

, ,

, ．　　………………………３分

　　其中田忌获胜的只有一种，所以田忌获胜的概率为．

　　　…………………………………………………………………………………………６分

（Ⅱ）已知齐王第一场必出上等马，若田忌第一场出上等马或中等马，则剩下两场中至少输掉一场，这时田忌必败．

为了使自己获胜的概率最大，田忌第一场应出下等马，后两场有两种情形：

①若齐王第二场派出中等马，可能对阵情形是、

或者、，所以田忌获胜的概率为；　………………………９分

②若齐王第二场派出下等马，可能对阵情形是、

或者、，所以田忌获胜的概率为，

所以田忌按或者的顺序出马，才能使自己获胜的概率达到最大值．

　　　………………………………………………………………………………………１２分

解法二：各种对阵情况列成下列表格：

1

2

3

4

5

6

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　………………………３分

（Ⅰ）其中田忌获胜的只有第五种这一种情形，所以田忌获胜的概率为．……６分

（Ⅱ）为了使自己获胜的概率最大，田忌第一场应出下等马，即只能是第五、第六两种情形．　　…………………………………………………９分

其中田忌获胜的只有第五种这一种情形，所以田忌按或者的顺序出马，才能使自己获胜的概率达到最大值．………………………１２分

19．（本题满分12分）

解证: （Ⅰ） 连结连结，

∵四边形是矩形 

∴为中点

又为中点,从而∥ ------------3分

∵平面,平面

∴∥平面_。-----------------------5分

（Ⅱ）（方法1）

三角形的面积-------------------8分

到平面的距离为的高 

∴---------------------------------11分

因此，三棱锥的体积为。------------------------------------12分

（方法2）

_，

_，

∴为等腰，取底边的中点，

则，

∴的面积　-----------8分

∵，∴点到平面的距离等于到平面

的距离，

由于，，

∴ ，

过作于，则就是到平面的距离，

又_{，----------11分}

---------------------12分

（方法３）

到平面的距离为的高 

∴四棱锥的体积------------------------9分

三棱锥的体积

  ∴---------------------------------------------11分

       因此，三棱锥的体积为。-------------------------------------12分

20．（Ⅰ）依题意知,                                                     

∵,

∴．                                        

∴所求椭圆的方程为．                     ……4分              

（Ⅱ）设点关于直线的对称点为，

∴                            ……6分                 

解得：，．                 ……8分               

∴．                                ……10分           

∵ 点在椭圆:上,

∴, 则．

∴的取值范围为．                      ……12分

21．解：（Ⅰ）由知，定义域为，

．     ……………………3分

当时，,                    ………………4分

当时， ．                            ………………5分

所以的单调增区间是,

的单调减区间是．           …………………… ………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在上单调递增，

在上单调递减，在上单调递增，且当或时，

, 所以的极大值为，

极小值为． 　　………………………8分

又因为,　

,  ………１０分

所以在的三个单调区间上，

直线与的图象各有一个交点，

当且仅当, 因此，

的取值范围为．   ………………12分

22．解：（Ⅰ）当时，　　……………………………3分

       ∴=

      =

      =

      =　　…………………………………7分

       （Ⅱ）  

  +

+

=

=　……………13分

当且仅当，即时，最小．……………………14分