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（2012•孝感模拟）某校高一（2）班共有60名同学参加期末考试，现将其数学学科成绩（均为整数）分成六个分数段[40，50），[50，60），…，[90，100]，画出如右图所示的部分频率分布直方图，请观察图形信息，回答下列问题：
（I ）求7O～80分数段的学生人数；
（II）估计这次考试中该学科的优分率（80分及以上为优分）；
（III）现根据本次考试分数分成的六段（从低分段到高分段依次为第一组、第二组、…、第六组），为提高本班数学整体成绩，决定组与组之间进行帮扶学习．若选出的两组分数之差大于30分（以分数段为依据，不以具体学生分数为依据），则称这两组为“最佳组合”，试求选出的两组为“最佳组合”的概率．

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（2013•惠州模拟）某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求图中实数a的值；
（2）若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；
（3）若从数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．

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（2010•广东模拟）2008年金融风暴横扫全球．为抗击金融风暴，市工贸系统决定对所属企业给予低息贷款的扶持．该系统先根据相关评分标准对各个企业进行了评估，并依据评估得分将这些企业分别评定为优秀、良好、合格、不合格4个等级，然后根据评估等级分配相应的低息贷款金额，其评估标准和贷款金额如下表：

评估得分	[50，60）	[60，70）	[70，80）	[80，90]
评定类型	不合格	合格	良好	优秀
贷款金额（万元）	0[	200	400	800

为了更好地掌控贷款总额，该系统随机抽查了所属部分企业的评估分数，得其频率分布直方图如下：
（Ⅰ）估计该系统所属企业评估得分的中位数；
（Ⅱ）该系统要求各企业对照评分标准进行整改，若整改后优秀企业数量不变，不合格企业、合格企业、良好企业的数量依次成等差数列，系统所属企业获得贷款的均值（即数学期望）不低于410万元，那么整改后不合格企业占企业总数的百分比的最大值是多少？

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一、选择题：

题号

答案

1、解析：，N＝，

即．答案：．

2、解析：由题意得，又．

答案：．

3、解析：程序的运行结果是．答案：．

4、解析：与直线垂直的切线的斜率必为4，而，所以，切点为．切线为，即，答案：．

5、解析：由一元二次方程有实根的条件，而，由几何概率得有实根的概率为．答案：．

6、解析：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面，所以正确；如果两个平面与同一条直线垂直，则这两个平面平行，所以正确；

如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，则这两个平面平行，所以也正确；

只有选项错误．答案：．

7、解析：由题意，得，答案：．

8、解析：的图象先向左平移，横坐标变为原来的倍．答案：．

二、填空题：

题号

答案

9、解析：若，则，解得．

10、解析：由题意．

11、解析：

12、解析：令，则，令，则，

令，则，令，则，

令，则，令，则，

…，所以．

13、解析：：；则圆心坐标为．

：由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离为，所以要求的最短距离为．

14、解析：由柯西不等式，答案：．

15、解析：显然与为相似三角形，又，所以的面积等于9cm．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16、解: (Ⅰ),    ……………………… 2分

 ∴，………………………………………………… 4分

 解得．………………………………………………………………… 6分

(Ⅱ)由,得：,     ……………………… 8分

∴    ………………………………… 10分

∴．…………………………………………………………… 12分

17、解：（1） … 2分

则的最小正周期，      …………………………………4分

且当时单调递增．

即为的单调递增区间（写成开区间不扣分）．………6分

（2）当时，当，即时．

所以．      …………………………9分

为的对称轴．      …………………12分

18、解：

（Ⅰ）解法一：“有放回摸两次，颜色不同”指“先白再黑”或“先黑再白”，

记“有放回摸球两次，两球恰好颜色不同”为事件，………………………2分

∵“两球恰好颜色不同”共种可能，…………………………5分

∴． ……………………………………………………7分

解法二：“有放回摸取”可看作独立重复实验， …………………………2分

∵每次摸出一球得白球的概率为．………………………………5分

∴“有放回摸两次，颜色不同”的概率为． ……………………………7分

（Ⅱ）设摸得白球的个数为，依题意得：

，，．…………10分

∴，……………………………………12分

．……………………14分

19、(Ⅰ)证明:  连结，与交于点，连结.………………………1分

  是菱形, ∴是的中点. ………………………………………2分

  点为的中点, ∴.   …………………………………3分

  平面平面, ∴平面.  ……………… 6分

(Ⅱ)解法一:

 平面,平面,∴ .

，∴.  …………………………… 7分

是菱形,  ∴.

，

∴平面.  …………………………………………………………8分

作，垂足为，连接，则,

所以为二面角的平面角. ………………………………… 10分

,∴，.

在Rt△中,=，…………………………… 12分

∴.…………………………… 13分

∴二面角的正切值是. ………………………… 14分

解法二：如图，以点为坐标原点，线段的垂直平分线所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，令，……………2分

则，,．

∴．  ……………4分

设平面的一个法向量为,

由，得，

令，则，∴.  …………………7分   

平面,平面,

∴.  ………………………………… 8分

，∴.

是菱形,∴.

，∴平面.…………………………… 9分

∴是平面的一个法向量,．………………… 10分

∴，

∴，  …………………… 12分 

∴．…………………………………… 13分 

∴二面角的正切值是.  ……………………… 14分

20、解:圆的方程为,则其直径长,圆心为,设的方程为,即,代入抛物线方程得:,设，

有,   ………………………………2分

则.  ……………………4分

故 …6分

, ………… 7分

因此.    ………………………………… 8分

据等差,_,  …………… 10分

所以_，即,_，…………… 12分

即：方程为或.   …………………14分

21、解：

（1）因为， …………………………2分 

所以，满足条件.   …………………3分

又因为当时，，所以方程有实数根．

所以函数是集合M中的元素． …………………………4分

（2）假设方程存在两个实数根），

  则，……………………………………5分 

不妨设，根据题意存在数

使得等式成立，  ………………………7分

  因为，所以，与已知矛盾，

所以方程只有一个实数根；………………………10分

（3）不妨设，因为