题目列表(包括答案和解析)
对定义在上,并且同时满足以下两个条件的函数称为函数.
① 对任意的,总有;
② 当时,总有成立.
已知函数与是定义在上的函数.
(1)试问函数是否为函数?并说明理由;
(2)若函数是函数,求实数的值;
(3)在(2)的条件下,是否存在实数,使方程恰有两解?若存在,求出实数的取值范围;若不存在,请说明理由.
已知定义域为的函数同时满足以下三个条件:
[1] 对任意的,总有;
[2] ;
[3] 若,,且,则有成立,
并且称为“友谊函数”,请解答下列各题:
(1)若已知为“友谊函数”,求的值;
(2)函数在区间上是否为“友谊函数”?并给出理由.
(3)已知为“友谊函数”,假定存在,使得且,
求证:.
已知定义域为的函数同时满足以下三个条件:
[1] 对任意的,总有;
[2] ;
[3] 若,,且,则有成立,
并且称为“友谊函数”,请解答下列各题:
(1)若已知为“友谊函数”,求的值;
(2)函数在区间上是否为“友谊函数”?并给出理由.
(3)已知为“友谊函数”,假定存在,使得且,
求证:.
已知定义域为的函数同时满足以下三个条件:
(1) 对任意的,总有;(2);(3) 若,,且,则有成立,则称为“友谊函数”,请解答下列各题:
(1)若已知为“友谊函数”,求的值;
(2)函数在区间上是否为“友谊函数”?并给出理由.
(3)已知为“友谊函数”,假定存在,使得且, 求证:.
已知定义域为的函数同时满足以下三个条件:
①对任意的,总有;
②;
③当,且时,成立.
称这样的函数为“友谊函数”.
请解答下列各题:
(1)已知为“友谊函数”,求的值;
(2)函数在区间上是否为“友谊函数”?请给出理由;
(3)已知为“友谊函数”,假定存在,使得,且,求证:.
一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.
二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分.
三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分数.
一.选择题:BBDC DDAD
1.将各选项代入检验易得答案选B.
2.,图中阴影部分表示的集合为,选B.
3.由函数以为周期,可排除A、B,由函数在为增函数,可排除C,故选D。
4.或
或,故选C。
5.该程序的功能是求和,因输出结果,故选D.
6.由已知得即
,故选D.
7.如图:易得答案选A.
8.若成立,依题意则应有当时,均有成立,故A不成立,
若成立,依题意则应有当时,均有成立,故B不成立,
因命题“当成立时,总可推 出成立”.“当成立时,总可推出成立”.因而若成立,则当时,均有成立 ,故C也不成立。对于D,事实上,依题意知当时,均有成立,故D成立。
二.填空题:9.800、20%;10. ;11. 3;12. ①③④⑤;13. ;14. 2或8;15.
9. 由率分布直方图知,及格率==80%,
及格人数=80%×1000=800,优秀率=%.
10.解一:任取3个球有C种结果,编号之和为奇数的结果数为CC+ C=60,故所求概率为.
解二:十个球的编号中,恰好有5个奇数和5个偶数,从中任取3个球,3个球编号之和为奇数与3个球编号之和为偶数的机会是均等的,故所求概率为.
11.由平面向量的坐标表示可得:
由,得.
12.由三视图知该几何体是底面为正方形的长方体,
显然①可能,②不可能,③④⑤如右图知都有可能。
13.在平面直角坐标系中,曲线和分别表示圆和直线,易知=
14. 由,得或8
15.解法1:∵PA切于点A,B为PO中点,
∴AB=OB=OA, ∴,∴,在△POD中由余弦定理
得=
∴.
解法2:过点D作DE⊥PC垂足为E,∵,∴,可得,,在中,∴
三.解答题:
16.解:(1)
------------------------4分
(2)∵,
∴,
由正弦定理得:
∴------------6分
如图过点B作垂直于对岸,垂足为D,则BD的长就是该河段的宽度。
在中,∵,------------8分
∴=
(米)
∴该河段的宽度米。---------------------------12分
17.(1)解:∵
∴且,
∴平面------------ ----------------2分
在中, ,
中,
∵,
∴.--------------4分
(2)证法1:由(1)知SA=2, 在中,---6分
∵,∴-------------------8分
证法2:由(1)知平面,∵面,
∴,∵,,∴面
又∵面,∴
(3) 解法1:分别取AB、SA、 BC的中点D、E、F,
连结ED、DF、EF、AF,则,
∴(或其邻补角)就是异面直线SB和AC所成的角----------10分
∵
在中,
∴,
在中,
在△DEF中,由余弦定理得
∴异面直线SB和AC所成的角的余弦值为-------------------------14分
解法2:以点A为坐标原点,AC所在的直线为y轴建立空间直角坐标系如图
则可得点A(0,0,0),C(0,1,0),B
∴
设异面直线SB和AC所成的角为
则
∴异面直线SB和AC所成的角的余弦值为。
18.解:(1)依题意知,动点到定点的距离等于到直线的距离,曲线是以原点为顶点,为焦点的抛物线………………………………2分
∵ ∴
∴ 曲线方程是………4分
(2)设圆的圆心为,∵圆过,
∴圆的方程为 ……………………………7分
令得:
设圆与轴的两交点分别为,
方法1:不妨设,由求根公式得
,…………………………10分
∴
又∵点在抛物线上,∴,
∴ ,即=4--------------------------------------------------------13分
∴当运动时,弦长为定值4…………………………………………………14分
〔方法2:∵,
∴
又∵点在抛物线上,∴, ∴
∴当运动时,弦长为定值4〕
19.解:设AN的长为x米(x >2)
∵,∴|AM|=
∴SAMPN=|AN|•|AM|= ------------------------------------- 4分
(1)由SAMPN > 32 得 > 32 ,
∵x >2,∴,即(3x-8)(x-8)> 0
∴ 即AN长的取值范围是----------- 8分
(2)令y=,则y′= -------------- 10分
∵当,y′< 0,∴函数y=在上为单调递减函数,
∴当x=3时y=取得最大值,即(平方米)
此时|AN|=
20.解:(1)由得----------------------------------------1分
由一元二次方程求根公式得---------------------------3分
∵
∴---------------------------------------------4分
(2) ∵
∴
=------------------------------------------------------------6分
∵
∴------------------------------------------------------------------------8分
(其它证法请参照给分)
(3)解法1:∵
∴
=-------------------------------------------------10分
∵,∴
∴,∵
∴即
∴数列有最大项,最大项为第一项。---------- -14分
〔解法2:由知数列各项满足函数
∵
当时,
∴当时,即函数在上为减函数
即有
∴数列有最大项,最大项为第一项。]
21.解:
(1)
---------------2分
当时,函数有一个零点;--------------3分
当时,,函数有两个零点。------------4分
(2)令,则
,
在内必有一个实根。即,使成立。------------8分
(3) 假设存在,由①知抛物线的对称轴为x=-1,且
∴
-------------------------10分
由②知对,都有
令得
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