(2)求使得函数是“类函数的常数的取值范围.——青夏教育精英家教网—

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若函数y=f（x）（x∈D）同时满足以下条件：
①它在定义域D上是单调函数；②存在区间[a，b]?D使得f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，我们将这样的函数称作“A类函数”，
（1）函数y=2x-log₂x是不是“A类函数”？如果是，试找出[a，b]；如果不是，试说明理由；
（2）求使得函数f（x）=

1

2

x-

k

x

+1，x∈（0，+∞）是“A类函数”的常数k的取值范围．

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已知函数

（Ⅰ）若函数f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围；

（Ⅱ）令g（x）= f（x）－x²，是否存在实数a，当x∈（0，e](e是自然常数)时，函数g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由；

（Ⅲ）当x∈（0，e]时，证明：

【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。第一问中利用函数f（x）在[1，2]上是减函数，的导函数恒小于等于零，然后分离参数求解得到a的取值范围。第二问中，

假设存在实数a，使有最小值3，利用，对a分类讨论，进行求解得到a的值。

第三问中，

因为，这样利用单调性证明得到不等式成立。

解：(Ⅰ)

(Ⅱ)

（Ⅲ）见解析

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（A类）定义在R上的函数y=f（x），对任意的a，b∈R，满足f（a+b）=f（a）•f（b），当x＞0时，有f（x）＞1，其中f（1）=2
（1）求f（0）、f（-1）的值；（2）证明y=f（x）在（0，+∞）上是增函数；（3）求不等式f（x+1）＜4的解集．
（B类）已知定义在R上的奇函数f(x)=

-2x+b

2x+1+a

．
（1）求a，b的值；
（2）若不等式-m2+(k+2)m-

3

2

＜f(x)＜m2+2km+k+

5

2

对一切实数x及m恒成立，求实数k的取值范围；
（3）定义：若存在一个非零常数T，使得f（x+T）=f（x）对定义域中的任何实数x都恒成立，那么，我们把f（x）叫以T为周期的周期函数，它特别有性质：对定义域中的任意x，f（x+nT）=f（x），（n∈Z）．若函数g（x0是定义在R上的周期为2的奇函数，且当x∈（-1，1）时，g（x）=f（x）-x，求方程g（x）=0的所有解．

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（A类）定义在R上的函数y=f（x），对任意的a，b∈R，满足f（a+b）=f（a）•f（b），当x＞0时，有f（x）＞1，其中f（1）=2
（1）求f（0）、f（-1）的值；（2）证明y=f（x）在（0，+∞）上是增函数；（3）求不等式f（x+1）＜4的解集．
（B类）已知定义在R上的奇函数f(x)=

-2x+b

2x+1+a

．
（1）求a，b的值；
（2）若不等式-m2+(k+2)m-

3

2

＜f(x)＜m2+2km+k+

5

2

对一切实数x及m恒成立，求实数k的取值范围；
（3）定义：若存在一个非零常数T，使得f（x+T）=f（x）对定义域中的任何实数x都恒成立，那么，我们把f（x）叫以T为周期的周期函数，它特别有性质：对定义域中的任意x，f（x+nT）=f（x），（n∈Z）．若函数g（x0是定义在R上的周期为2的奇函数，且当x∈（-1，1）时，g（x）=f（x）-x，求方程g（x）=0的所有解．

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一、填空题

1． 2． 3．2 4． 5. i100 6． 7． 2

8． 9． 10． 11． 12．

二、选择题

13． 14．A 15．A． 16． D

三、解答题

17．

（1）由题意可得：=5----------------------------------------------------------（2分）

由：得：=314---------------------------------------（4分）

或：，

（2）方法一：由：或------（1分）

或---------（1分）

得：0.0110-----------------------------------------------------------------（1分）

方法二：由：

得：-----------------------------------------------------------------（1分）

由：点和点的纵坐标相等，可得点和点关于点对称

即：------------------------------------------------------------（1分）

得：0.011-----------------------------------------------------------------------（1分）

18．（1），是等腰三角形，

又是的中点，，--------------（1分）

又底面．．----（2分）

-------------------------------（1分）

于是平面．----------------------（1分）

（2）过作，连接----------------（1分）

平面，

，-----------------------------------（1分）

平面，---------------------------（1分）

就是直线与平面所成角。---（2分）

在中，

----------------------------------（2分）

所以，直线与平面所成角--------（1分）

19．解：

（1）函数的定义域为；------------------------------------（1分）

当时；当时；--------------------------------------------------（1分）

所以，函数在定义域上不是单调函数，------------------（1分）

所以它不是“类函数” ------------------------------------------------------------------（1分）

（2）当小于0时，则函数不构成单调函数；（1分）

当=0时，则函数单调递增，

但在上不存在定义域是值域也是的区间---------------（1分）

当大于0时，函数在定义域里单调递增，----（1分）

要使函数是“类函数”，

即存在两个不相等的常数，

使得同时成立，------------------------------------（1分）

即关于的方程有两个不相等的实根，--------------------------------（2分）

，--------------------------------------------------------------------------（1分）

亦即直线与曲线在上有两个不同的交点，-（1分）

所以，-------------------------------------------------------------------------------（2分）

20．解：

（1）

若，由，得数列构成等比数列------------------（3分）

若，，数列不构成等比数列--------------------------------------（1分）

（2）由，得：-------------------------------------（1分）

---------------------------------------------------------（1分）

----------------------------------------------（1分）

----（1分）

------------------------------------------------------------------（1分）

---------------------------------------------------------------------（1分）

（3）若对任意，不等式恒成立，

即：

-------------------------------------------（1分）

令：，当时，有最大值为0---------------（1分）

令：

------------------------------------------------------（1分）

当时

---------------------------------------------------------（1分）

所以，数列从第二项起单调递减

当时，取得最大值为1-------------------------------（1分）

所以，当时，不等式恒成立---------（1分）

21．解：

（1）双曲线焦点坐标为，渐近线方程---（2分）

双曲线焦点坐标，渐近线方程----（2分）

（2）

得方程: -------------------------------------------（1分）

设直线分别与双曲线的交点、的坐标分别为，线段中点为坐标为

----------------------------------------------------------（1分）

得方程: ----------------------------------------（1分）

设直线分别与双曲线的交点、的坐标分别为，线段中点为坐标为

---------------------------------------------------（1分）

由，-----------------------------------------------------------（1分）

所以，线段与不相等------------------------------------（1分）

（3）

若直线斜率不存在，交点总个数为4；-------------------------（1分）

若直线斜率存在，设斜率为，直线方程为

直线与双曲线：

得方程: ①

直线与双曲线：

得方程: ②-----------（1分）

的取值

直线与双曲线右支的交点个数

交点总个数

1个（交点）

2个

1个（，）

2个

1个（与渐进线平行）

1个（理由同上）

2个

2个（，方程①两根都大于2）

1个（理由同上）

3个

2个（理由同上）

1个（与渐进线平行）

3个

2个（理由同上）

2个（，方程②

两根都大于1）

4个

得：-------------------------------------------------------------------（3分）

由双曲线的对称性可得：

的取值

交点总个数

2个

3个

4个

得：-------------------------------------------------------------------（2分）

综上所述：（1）若直线斜率不存在，交点总个数为4；

（2）若直线斜率存在，当时，交点总个数为2个；当或时，交点总个数为3个；当或时，交点总个数为4个；---------------（1分）

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