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    题目列表(包括答案和解析)

    （A）4-2矩阵与变换
    已知二阶矩阵M的特征值是λ1=1，λ2=2，属于λ1的一个特征向量是e1=
    1
    1
    ，属于λ2的一个特征向量是e2=
    -1
    2
    ，点A对应的列向量是a=
    1
    4
    ．
    （Ⅰ）设a=me1+ne2，求实数m，n的值．
    （Ⅱ）求点A在M5作用下的点的坐标．

    （B）4-2极坐标与参数方程
    已知直线l的极坐标方程为ρsin(θ-
    π
    3
    )=3    ，曲线C的参数方程为
    x=cosθ
    y=3sinθ
    ，设P点是曲线C上的任意一点，求P到直线l的距离的最大值．

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    精英家教网（A）（不等式选讲）不等式log3（|x-4|+|x+5|）＞a对于一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是
     
    ；
    （B） （几何证明选讲）如图，已知在△ABC中，∠C=90°，正方形DEFC內接于△ABC，DE∥AC，EF∥BC，AC=1，BC=2，则正方形DEFC的边长等于
     
    ；
    （C） （极坐标系与参数方程）曲线ρ=2sinθ与ρ=2cosθ相交于A，B两点，则直线AB的方程为
     
    ．

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    （A）直线xcosα+ysinα-sinα-3=0与曲线
    x=3cosβ
    y=3sinβ+1
    的位置关系是
     
    ；
    （B）不等式|x+3|+|x-1|≥a2-3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为
     
    ．

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    （A）在极坐标系中，曲线C1：ρ=2cosθ，曲线C2：θ=
    π4
    ，若曲线C1与C2交于A、B两点，则线段AB=
     
    ．
    （B）若|x-1|+x-2||+|x-3|≥m恒成立，则m的取值范围为
     
    ．

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    （A）（不等式选做题）不等式|x+1|-|x-2|＞2的解集为
    (
    3
    2
    ，+∞)
    (
    3
    2
    ，+∞)
    ．
    （B）（几何证明选做题）如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为6cm，8cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则AD=
    18
    5
    (或3.6)
    18
    5
    (或3.6)
    cm．
    （C）（坐标系与参数方程选做题）圆C的参数方程
    x=1+cosα
    y=1-sinα
    （α为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ=1，则直线l与圆C的交点的直角坐标是
    （0，1），或（2，1）
    （0，1），或（2，1）
    ．

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    第Ⅰ卷

    一、选择题

    题号

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    答案

    B

    B

    B

    A

    C

    A

    D

    C

     

    第Ⅱ卷

    二、填空题

    9、3 , ;    10、;     11、（A）; （B）；（C）();    12、0.5       13、28 ,

    三、解答题

    14、（本小题满分12分）

    解：（Ⅰ）＝

                           ＝+

                           ＝+

    　　所以，的最小正周期　

    (Ⅱ)

    　　  

    由三角函数图象知:

    的取值范围是

     

     

     

     

    15、（本小题满分12分）

    方法一：

    证：（Ⅰ）在Rt△BAD中，AD=2，BD=，

    ∴AB=2，ABCD为正方形，

    因此BD⊥AC.                    

    ∵PA⊥平面ABCD，BDÌ平面ABCD，

    ∴BD⊥PA .                      

    又∵PA∩AC=A

    ∴BD⊥平面PAC.                 

    解：（Ⅱ）由PA⊥面ABCD，知AD为PD在平面ABCD的射影，又CD⊥AD，

    ∴CD⊥PD，知∠PDA为二面角P―CD―B的平面角.                      

    又∵PA=AD，

    ∴∠PDA=450 .                                                       

    （Ⅲ）∵PA=AB=AD=2

    ∴PB=PD=BD=

    设C到面PBD的距离为d，由，

    有，                              

    即，

    得         

    方法二：

    证：（Ⅰ）建立如图所示的直角坐标系，

    则A（0，0，0）、D（0，2，0）、P（0，0，2）.

    在Rt△BAD中，AD=2，BD=，

    ∴AB=2.

    ∴B（2，0，0）、C（2，2，0），

    ∴  

    ∵

    即BD⊥AP，BD⊥AC，又AP∩AC=A，

    ∴BD⊥平面PAC.                       

    解：（Ⅱ）由（Ⅰ）得.

    设平面PCD的法向量为，则，

    即，∴

    故平面PCD的法向量可取为                              

    ∵PA⊥平面ABCD，∴为平面ABCD的法向量.             

    设二面角P―CD―B的大小为q，依题意可得，

    ∴q = 450 .                                                      

    （Ⅲ）由（Ⅰ）得

    设平面PBD的法向量为，则，

    即，∴x=y=z

    故平面PBD的法向量可取为.                             

    ∵，

    ∴C到面PBD的距离为                          

     

     

    16、（本小题满分14分）

    解：（1）设“甲射击4次，至少1次未击中目标”为事件A，则其对立事件为“4次均击中目标”，则

    （2）设“甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次”为事件B,则

    （3）设“乙恰好射击5次后，被中止射击”为事件C,由于乙恰好射击5次后被中止射击,故必然是最后两次未击中目标，第三次击中目标，第一次及第二次至多有一次未击中目标。

    故

     

    17、（本小题满分14分）

    解：（Ⅰ）由  得

    即

    可得

    因为，所以   解得，因而

     （Ⅱ）因为是首项、公比的等比数列，故

    则数列的前n项和

    前两式相减，得 

       即 

     

     

    18、（本小题满分14分）

    解：(1) ,设切点为,则曲线在点P的切线的斜率,由题意知有解，

    ∴即.

     (2)若函数可以在和时取得极值，

    则有两个解和，且满足.

    易得.

    (3)由(2)，得.

    根据题意，()恒成立.

    ∵函数（）在时有极大值（用求导的方法），

    且在端点处的值为.

    ∴函数（）的最大值为.  

    所以.

     

    19、（本小题满分14分）

    解：（1）∵成等比数列　∴　

    设是椭圆上任意一点，依椭圆的定义得

     

    即为所求的椭圆方程.

    （2）假设存在，因与直线相交，不可能垂直轴

    因此可设的方程为：由

    　 ①

    方程①有两个不等的实数根

    ∴　②

    设两个交点、的坐标分别为　∴

    ∵线段恰被直线平分　∴

    ∵　∴ ③　把③代入②得

    ∵　 ∴　∴解得或

    ∴直线的倾斜角范围为

     

     

     


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