1．解：=，=，

∴ ，选B.

3．本卷共10小题，共90分。

⒀、已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为，则侧面与底面所成的二面角等于_______________。

⒁、设，式中变量满足下列条件

则z的最大值为_____________。

⒂、安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有__________种。（用数字作答）

⒃、设函数。若是奇函数，则__________。

⒄、（本小题满分12分）

的三个内角为，求当A为何值时，取得最大值，并求出这个最大值。

⒅、（本小题满分12分）

A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验。每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效。若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组。设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B有效的概率为。

（Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率；

（Ⅱ）观察3个试验组，用表示这3个试验组中甲类组的个数，求的分布列和数学期望。

⒆、（本小题满分12分）

如图，、是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段。点A、B在上，C在上，。

（Ⅰ）证明⊥；

（Ⅱ）若，求与平面ABC所成角的余弦值。

⒇、（本小题满分12分）

在平面直角坐标系中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与轴的交点分别为A、B，且向量。求：

（Ⅰ）点M的轨迹方程；

（Ⅱ）的最小值。

（21）、（本小题满分14分）

已知函数。

（Ⅰ）设，讨论的单调性；

（Ⅱ）若对任意恒有，求的取值范围。

（22）、（本小题满分12分）

设数列的前项的和

，

（Ⅰ）求首项与通项；

（Ⅱ）设，，证明：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

B

D

A

B

C

B

C

A

D

B

B

B

2．第Ⅱ卷共2页，请用黑色签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效。

1.答题前，考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

⑾、用长度分别为2、3、4、5、6（单位：）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为

A．      B．          C．          D．

⑿、设集合。选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有

A．        B．              C．             D．

2006年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

第Ⅱ卷

注意事项：

1．考生不能将答案直接答在试卷上，必须答在答题卡上．

22．解：（I）由已知得 

又

是以为首项，以为公比的等比数列.

（II）由（I）知，

将以上各式相加得：

（III）解法一：

存在，使数列是等差数列.

数列是等差数列的充要条件是、是常数

即

又

当且仅当，即时，数列为等差数列.

解法二：

存在，使数列是等差数列.

由（I）、（II）知，

又

当且仅当时，数列是等差数列.

21．解：设椭圆方程为

（Ⅰ）由已知得

∴所求椭圆方程为       .

（Ⅱ）解法一：由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为

由，消去y得关于x的方程：

由直线与椭圆相交于A、B两点，

解得

又由韦达定理得

原点到直线的距离

.

解法1：对两边平方整理得：

（*）

           ∵，

              整理得：

              又，   

              从而的最大值为，

此时代入方程（*）得 

所以，所求直线方程为：.

解法2：令，

              则

                     当且仅当即时，

                     此时.

                     所以，所求直线方程为

解法二：由题意知直线l的斜率存在且不为零.

              设直线l的方程为，

              则直线l与x轴的交点，

              由解法一知且，

              解法1：

                                    =

                                   .

                     下同解法一.

              解法2：

                            下同解法一.

20．解法一：

平面，

又，

由平面几何知识得：

（Ⅰ）过做交于于，连结，则或其补角为异面直线与所成的角，

四边形是等腰梯形，

又

四边形是平行四边形。

是的中点，且

又，

为直角三角形，

在中，由余弦定理得

故异面直线PD与所成的角的余弦值为

（Ⅱ）连结，由（Ⅰ）及三垂线定理知，为二面角的平面角

，

二面角的大小为

（Ⅲ）连结，

平面平面，

又在中，

，

，

故时，平面

解法二：

 平面

又，，

由平面几何知识得：

以为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标为，，，，，

（Ⅰ），

       ，

。

。

故直线与所成的角的余弦值为

（Ⅱ）设平面的一个法向量为，

由于，，

由   得 

取，又已知平面ABCD的一个法向量，

又二面角为锐角，

所求二面角的大小为

（Ⅲ）设，由于三点共线，，

平面，

由（1）（2）知：

，。

故时，平面。