1.明确考点,突出重点
《考试大纲》中指出:对数学基础知识的考查,既要全面又要突出重点,对于支撑学科知识体系的重点内容,要占有较大的比例,构成数学试题的主体。《考试大纲》在考试内容部分按文、理科列出了详细的考点:理科立体几何用9(A)版的共有132个考点,用9(B)版的共有138个考点;文科立体几何用9(A)版的共有116个考点,用9(B)版的共有122个考点。从历年的高考试题看,对高中数学教材各章所涉及的概念、性质、公式、法则、定理的应用都作了较为全面的考查。因此,复习中应当注意各个考点的面面俱到,防止因人为猜测“不考”而漏缺。当然复习时应注意有所侧重,在近年不刻意追求知识覆盖面的前提下,更加突出了对函数、数列、三角函数、平面向量、不等式、圆锥曲线方程、直线平面简单几何体、概率与统计、导数九大重点章节知识的考查。这显然体现了《考试大纲》对重点知识重点考查的命题要求,它无疑启示我们在全面落实双基的同时,更应该注意突出重点知识,并加以反复锤炼。事实上,历年高考试题既考查基础知识,又考查综合内容,但综合的根基是基础。只有双基扎实了,重点领会了,才能逐步提高综合能力。
2.对数学能力的考查要求
《考试大纲》着重对思维能力、运算能力、空间想象能力以及实践能力和创新意识作了细化说明,并提出了明确的考查要求。
对于思维能力,《考试大纲》指出:“思维能力是数学学科能力的核心”。要求考生“会对问题或资料进行观察、比较、分析、综合、抽象和概括,会用类比、归纳和演绎进行推理,能合乎逻辑地进行表述”。考查的方法和内容是,以知识为素材,通过空间想象、直觉猜想、归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明和模式构建等诸方面,考查考生对客观事物中的空间形式、数量关系和数学模式的思考和判断,形成和发展理性思维,构成数学能力的主体。
《考试大纲》把对考生思维能力的考查放在能力考查的首位,旨在强调思维能力在数学能力中的主体地位与核心地位,有效检测考生的理性思维水平。
关于运算能力,《考试大纲》首先对“运算”作了明确的说明:“运算包括对数字的计算、估值和近似计算,对式子的组合变形与分解变形,对几何图形各几何量的计算求解等”。并且要求考生“会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理;能根据问题的条件,寻找与设计合理、简捷的运算途径;能根据要求对数据进行估计和近似计算”。在此基础上,对运算能力的内涵作了明确的界定,指出“运算能力包括分析运算条件、探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等一系列过程中的思维能力,也包括在实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力”。这一界定,将数学运算的过程提到了理性思维的高度。这不仅是对运算能力的诠释,而且是对运算过程中思维程序的设计和要求,为我们指明了运算过程中的思维方向。
《考试大纲》对空间想象能力解释为“是对空间形式的观察、分析、抽象的能力”,主要表现为识图、画图和对图形的想象能力。识图是指观察研究所给图形中几何元素之间的关系;画图是指将文字语言和符号语言转化为图形语言,以及在原有图形上添加辅助图形或对图形进行各种变换。对图形的想象是空间想象能力高层次标志,主要包括有图想图和无图想图两种。对空间想象能力的考查,《考试大纲》提出的要求是:“能根据条件作出正确的图形,根据图形想象出直观的形象;能正确地分析出图形中基本元素及其相互关系;能对图形进行分解、组合与变换;会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质”。
“实践能力是将客观事物数学化的能力”,这是《考试大纲》对实践能力的注解。其过程是依据现实的生活背景,提炼相关的数量关系,构造数学模型,并加以解决。具体说来,要求考生能综合运用所学数学知识、思想和方法解决在相关学科、生产、生活中简单的数学问题;能理解对问题陈述的材料,并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类,将实际问题抽象为数学问题,建立数学模型;能应用相关的数学方法解决这个抽象而得的数学问题,并能在验证的基础上用数学语言正确地表述和说明。显然,这不仅是对实践能力的考查要求,而且为我们指明了求解应用问题常规的思维程序。
围绕创新意识,《考试大纲》对试题命制与否、知识载体、形式类别、难易程度等方面都提出了明确的要求,指出:创新意识是理性思维的高层次表现。命题要求是创设比较新颖的问题情景,构造有一定深度和广度的问题,要注重问题的多样性,体现思维的发散性。并提出要“精心设计考查数学主体内容,体现数学素质的题目;反映数、形运动变化的题目;研究型、探索型、开放型的试题”。不难看出,高考中创新问题要命制,试题的知识载体是数学的主体内容,试题的宏观类型是研究型、探索型、开放型试题。
近年来,数学高考试题的命制注重能力立意,并且以思维能力为核心,全面考查各种能力。为此,对思维能力的考查必将贯穿于全卷,着重体现对理性思维的考查,强调思维的科学性、严谨性、抽象性。对运算能力的考查主要是对算理和逻辑推理的考查,考查时通常以代数运算为主,同时也考查估算、简算。对空间想象能力的考查,主要体现文字语言、符号语言及图形语言之间的相互转译,表现为对图形的识别、理解和加工。考查时常与运算能力、逻辑思维能力相结合。
1.对数学知识的考查要求
《考试大纲》中所说的知识是指教学大纲所规定的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及蕴涵在其中的数学思想。要求达到“了解、理解和掌握、灵活和综合运用”三个层次。数学思想和方法蕴含在基础知识和基本技能之中,《考试大纲》强调,对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次上的考查,考查时必须与数学知识相结合,通过对数学知识的考查,反映考生对数学思想和方法的理解;要从学科整体意义和思想价值立意,注重通性通法,淡化特殊技巧,有效地检测考生对数学思想和方法的掌握程度。显然,《考试大纲》的这一要求,既指出了对数学思想考查的意义,又指出了对数学思想考查的方法。
(2)设的前n项和为,求证:.
(1)求证:是递减数列;
(Ⅱ)令;
(Ⅰ)求证:;
22. (本题满分12分)数列满足:.
(2)设,求直线MN在x轴上截距的取值范围.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)设抛物线C过A、B两点的切线交于点N;
(1)求证:点N在一条定直线上;
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