22.[必做题]本小题主要考查排列与组合、离散型随机变量的均值等基础知识,考查运算求解能力.满分10分.
(1)一次取2个球共有种可能情况,2个球颜色相同共有种可能情况
∴取出的2个球颜色相同的概率
(2)X的所有可能取值为,则
∴X的概率分布列为
X |
2 |
3 |
4 |
P |
|
|
|
故X的数学期望
22.(本小题满分10分)
盒中共有9个球,其中有4个红球,3个黄球和2个绿球,这些球除颜色外完全相同.
(1)从盒中一次随机取出2个球,求取出的2个球颜色相同的概率P;
(2)从盒中一次随机取出4个球,其中红球、黄球、绿球的个数分别记为,随机变量X表示中的最大数,求X的概率分布和数学期望.
21.[选做题]本题包括A, B,C,D四小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.[选修4-1:几何证明选讲](本小题满分10分)
如图,AB是圆O的直径,C、 D是圆O 上位于AB异侧的两点
证明:∠OCB=∠D.
本小题主要考查圆的基本性质,考查推理论证能力.满分10分.
证明:因为B, C是圆O上的两点,所以OB=OC.
故∠OCB=∠B.
又因为C, D是圆O上位于AB异侧的两点,
故∠B,∠D为同弧所对的两个圆周角,
所以∠B=∠D.
因此∠OCB=∠D.
B.[选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分)
已知矩阵,,向量,为实数,若,求的值.
[答案]本小题主要考查矩阵的乘法等基础知识,考查运算求解能力.满分10分.
,,由得解得
C.[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)
在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为(t为参数),直线l与抛物线交于两点,求线段AB的长.
[答案]本小题主要考查直线的参数方程、抛物线的标准方程等基础知识,考查运算求解能力.满分10分.
直线l:代入抛物线方程并整理得
∴交点,,故
D.[选修4-5:不等式选讲](本小题满分10分)
已知x>0, y>0,证明:(1+x+y2)( 1+x2+y)≥9xy.
本小题主要考查算术一几何平均不等式.考查推理论证能力.满分10分.
证明:因为x>0, y>0, 所以1+x+y2≥,1+x2+y≥,
所以(1+x+y2)( 1+x2+y)≥=9xy.
[必做题]第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
20.(本小题满分16分)设数列的前n项和为.若对任意的正整数n,总存在正整数m,使得,则称是“H数列”.
(1)若数列的前n项和,证明:是“H数列”;
(2)设是等差数列,其首项,公差.若是“H数列”,求d的值;
(3)证明:对任意的等差数列,总存在两个“H数列”和,使得成立.
[答案]本小题主要考查数列的概念、等差数列等基础知识,考查探究能力及推理论证能力, 满分16分.
(1)当时,
当时,
∴时,,当时,
∴是“H数列”
(2)
对,使,即
取得,
∵,∴,又,∴,∴
(3)设的公差为d
令,对,
,对,
则,且为等差数列
的前n项和,令,则
当时;
当时;
当时,由于n与奇偶性不同,即非负偶数,
因此对,都可找到,使成立,即为“H数列”.
的前n项和,令,则
∵对,是非负偶数,∴
即对,都可找到,使得成立,即为“H数列”
因此命题得证.
数学Ⅱ(附加题)
19.(本小题满分16分)已知函数其中e是自然对数的底数.
(1)证明:是上的偶函数;
(2)若关于x的不等式在上恒成立,求实数m的取值范围;
(3)已知正数a满足:存在,使得成立.试比较与的大小,并证明你的结论.
[答案]本小题主要考查初等函数的基本性质、导数的应用等基础知识,考查综合运用数学思想
方法分析与解决问题的能力.满分16分.
(1),,∴是上的偶函数
(2)由题意,,即
∵,∴,即对恒成立
令,则对任意恒成立
∵,当且仅当时等号成立
∴
(3),当时,∴在上单调增
令,
∵,∴,即在上单调减
∵存在,使得,∴,即
∵
设,则
当时,,单调增;
当时,,单调减
因此至多有两个零点,而
∴当时,,;
当时,,;
当时,,.
18.(本小题满分16分)如图,为保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆,且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m.经测量,点A位于点O正北方向60m处,点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸),.
(1)求新桥BC的长;
(2)当OM多长时,圆形保护区的面积最大?
解:本小题主要考查直线方程、直线与圆的位置关系和解三角形等基础知识,考查建立数学模型及运用数学知识解决实际问题的能力.满分16分.
解法一:
(1) 如图,以O为坐标原点,OC所在直线为x轴,建立平面直角坐标系xOy.
由条件知A(0, 60),C(170, 0),
直线BC的斜率k BC=-tan∠BCO=-.
又因为AB⊥BC,所以直线AB的斜率k AB=.
设点B的坐标为(a,b),则k BC=
k AB=
解得a=80,b=120. 所以BC=.
因此新桥BC的长是150 m.
(2)设保护区的边界圆M的半径为r m,OM=d m,(0≤d≤60).
由条件知,直线BC的方程为,即
由于圆M与直线BC相切,故点M(0,d)到直线BC的距离是r,
即.
因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m,
所以即解得
故当d=10时,最大,即圆面积最大.
所以当OM = 10 m时,圆形保护区的面积最大.
解法二:(1)如图,延长OA, CB交于点F.
因为tan∠BCO=.所以sin∠FCO=,cos∠FCO=.
因为OA=60,OC=170,所以OF=OC tan∠FCO=.
CF=,从而.
因为OA⊥OC,所以cos∠AFB=sin∠FCO==,
又因为AB⊥BC,所以BF=AF cos∠AFB==,从而BC=CF-BF=150.
因此新桥BC的长是150 m.
(2)设保护区的边界圆M与BC的切点为D,连接MD,则MD⊥BC,且MD是圆M的半
径,并设MD=r m,OM=d m(0≤d≤60).
因为OA⊥OC,所以sin∠CFO =cos∠FCO,
故由(1)知,sin∠CFO =所以.
因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m,
所以即解得
故当d=10时,最大,即圆面积最大.
所以当OM = 10 m时,圆形保护区的面积最大.
17.(本小题满分14 分)如图,在平面直角坐标系xOy中,分别是椭圆的左、右焦点,顶点B的坐标为,连结并延长交椭圆于点A,过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C,连结.
(1)若点C的坐标为,且,求椭圆的方程;
(2)若,求椭圆离心率e的值.
[答案]本小题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与直线的位置关系等基础知识,考查运
算求解能力. 满分14分.
(1)∵,∴
∵,∴,∴
∴椭圆方程为
(2)设焦点
∵关于x轴对称,∴
∵三点共线,∴,即①
∵,∴,即②
①②联立方程组,解得 ∴
∵C在椭圆上,∴,
化简得,∴, 故离心率为
16.(本小题满分14 分)如图,在三棱锥中,分别为棱的中点.已知.
(1)求证:直线PA∥平面DEF;
(2)平面BDE⊥平面ABC.
[答案]本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系,
考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分.
(1)∵为中点 ∴DE∥PA
∵平面DEF,DE平面DEF ∴PA∥平面DEF
(2)∵为中点 ∴
∵为中点 ∴
∴ ∴,∴DE⊥EF
∵,∴
∵ ∴DE⊥平面ABC
∵DE平面BDE, ∴平面BDE⊥平面ABC.
二、解答题:本大题共6小题, 共计90 分. 请在答题卡指定区域内作答, 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分14 分)已知,.
(1)求的值;
(2)求的值.
[答案]本小题主要考查三角函数的基本关系式、两角和与差及二倍角的公式,考查运算求解能
力. 满分14分.
(1)∵,
∴
;
(2)∵
∴.
14.若的内角满足,则的最小值是 .
[答案]
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