2．若系统内各个物体的加速度不相同，又需要知道物体间的相互作用力，往往把物体从系统中隔离出来，分析物体的受力情况和运动情况，并分别应用牛顿第二定律列出方程．

　(2013·新课标全国卷Ⅱ)一长木板在水平地面上运动，在t＝0时刻将一相对于地面静止的物块轻放到木板上，以后木板运动的速度—时间图象如图3－3－4所示．

图3－3－4

已知物块与木板的质量相等，物块与木板间及木板与地面间均有摩擦，物块与木板间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，且物块始终在木板上．取重力加速度的大小g＝10 m/s²，求：

(1)物块与木板间、木板与地面间的动摩擦因数；

(2)从t＝0时刻到物块与木板均停止运动时，物块相对于木板的位移的大小．

[解析]　从v­t图象中获取速度及加速度信息．根据摩擦力提供加速度，且不同阶段的摩擦力不同，利用牛顿第二定律列方程求解．

(1)从t＝0时开始，木板与物块之间的摩擦力使物块加速，使木板减速，此过程一直持续到物块和木板具有共同速度为止．

由图可知，在t₁＝0.5 s时，物块和木板的速度相同．设t＝0到t＝t₁时间间隔内，物块和木板的加速度大小分别为a₁和a₂，则

a₁＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

a₂＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

式中v₀＝5 m/s、v₁＝1 m/s分别为木板在t＝0、t＝t₁时速度的大小．

设物块和木板的质量均为m，物块和木板间、木板与地面间的动摩擦因数分别为μ₁、μ₂，由牛顿第二定律得

μ₁mg＝ma₁ ③

(μ₁＋2μ₂)mg＝ma₂ ④

联立①②③④式得

μ₁＝0.20　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑤

μ₂＝0.30　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑥

(2)在t₁时刻后，地面对木板的摩擦力阻碍木板运动，物块与木板之间的摩擦力改变方向．设物块与木板之间的摩擦力大小为f，物块和木板的加速度大小分别为a′₁和a′₂，则由牛顿第二定律得

f＝ma′₁ ⑦

2μ₂mg－f＝ma′₂ ⑧

假设f<μ₁mg，则a′₁＝a′₂；由⑤⑥⑦⑧式得f＝μ₂mg>μ₁mg，与假设矛盾．故f＝μ₁mg　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑨

由⑦⑨式知，

物块加速度的大小a′₁等于a₁；物块的v­t图象如图中点划线所示．

由运动学公式可推知，物块和木板相对于地面的运动距离分别为

s₁＝2×　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑩

s₂＝t₁＋　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑪

物块相对于木板的位移的大小为

s＝s₂－s₁ ⑫

联立①⑤⑥⑧⑨⑩⑪⑫式得

s＝1.125 m　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑬

[答案]　(1)0.20　0.30　(2)1.125 m

[迁移应用]

●与滑轮有关的连接体问题

1.若系统内各物体具有相同的加速度，且要求物体间的相互作用力时，一般先用整体法由牛顿第二定律求出系统的加速度(注意F＝ma中质量m与研究对象相对应)，再根据题目要求，将其中的某个物体(受力数少的物体)进行隔离分析并求解它们之间的相互作用力，即“先整体求加速度，后隔离求内力”．

3．如图3－3－3所示，光滑水平面上放置着质量分别为m、2m和3m的三个木块，其中质量为2m和3m的木块间用一根不可伸长的轻绳相连，轻绳能承受的最大拉力为T.现用水平拉力F拉其中一个质量为3m的木块，使三个木块以同一加速度运动，则以下说法正确的是(　)

图3－3－3

A．质量为2m的木块受到四个力的作用

B．当F逐渐增大到T时，轻绳刚好被拉断

C．当F逐渐增大到1.5T时，轻绳还不会被拉断

D．轻绳刚要被拉断时，质量为m和2m的木块间的摩擦力T

[解析]　质量为2m的木块受到重力、质量为m的木块的压力、m对其作用的向后的摩擦力、轻绳的拉力、地面的支持力五个力的作用，选项A错误；对整体，由牛顿第二定律可知，a＝；隔离后面的叠加体，由牛顿第二定律可知，轻绳中拉力为F′＝3ma＝.由此可知，当F逐渐增大到2T时，轻绳中拉力等于T，轻绳才刚好被拉断，选项B错误，C正确；

轻绳刚要被拉断时，物块加速度a′＝，质量为m和2m的木块间的摩擦力为f＝ma′＝，选项D错误．

[答案]　C

连接体问题的分析思路

2.(多选)(2014·南昌二中模拟)如图3－3－2所示，水平地面上有两块完全相同的木块A、B，水平推力F作用在木块A上，用F_AB表示木块A、B间的相互作用力，下列说法可能正确的是(　)

图3－3－2

A．若地面是完全光滑的，则F_AB＝F

B．若地面是完全光滑的，则F_AB＝F/2

C．若地面是有摩擦的，且木块A、B未被推动，可能F_AB＝F/3

D．若地面是有摩擦的，且木块A、B被推动，则F_AB＝F/2

[解析]　若地面光滑，先用整体法得F＝2ma，再用隔离法分析木块B有F_AB＝ma，则F_AB＝F/2.若地面是有摩擦的，且木块A、B被推动，由整体法得F－2μmg＝2ma，用隔离法对木块B有F_AB－μmg＝ma，则F_AB＝F/2.若木块A、B未被推动，则F_AB≤F/2.

[答案]　BCD

1.如图3－3－1所示，光滑水平面上放置着质量分别为m、2m的A、B两个物体，A、B间的最大静摩擦力为μmg，现用水平拉力F拉B，使A、B以同一加速度运动，则拉力F的最大值为(　)

A．μmg　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．2μmg　　

C．3μmg　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．4μmg

图3－3－1

[解析]　当A、B之间恰好不发生相对滑动时力F最大，此时，对于A物体所受的合外力为μmg，由牛顿第二定律知a_A＝＝μg；对于A、B整体，加速度a＝a_A＝μg，由牛顿第二定律得F＝3ma＝3μmg.

[答案]　C

3．隔离法

(1)隔离法是指当我们所研究的问题涉及多个物体组成的系统时，需要求连接体内各部分间的相互作用力，从研究方便出发，把某个物体从系统中隔离出来 ，作为研究对象，分析受力情况，再列方程求解．

(2)隔离法适合求物体系统内各物体间的相互作用力或各个物体的加速度．

　极限法与临界问题

在物体的运动变化过程中，往往达到某个特定状态时，有关的物理量将发生突变，此状态叫临界状态，相应的待求物理量的值叫临界值，此类问题称为临界问题．利用临界值来作为解题思路的起点是一种很有用的思考途径，这种方法称为临界条件法，又叫极限法．这种方法是将物体的变化过程推至极限——临界状态，抓住满足临界值的条件，准确分析物理过程进行求解．

常出现的临界条件为：(1)地面、绳子或杆的弹力为零．

(2)相对静止的物体间静摩擦力达到最大，通常在计算中取最大静摩擦力等于滑动摩擦力．

2．整体法

(1)整体法是指连接体内物体间无相对运动时(具有相同加速度)，可以把连接体内所有物体组成的系统作为整体考虑，分析其受力情况，对整体列方程求解．

(2)整体法可以求系统的加速度或外界对系统的作用力．

1．连接体

(1)两个(或两个以上)相关联的物体，我们称之为连接体．连接体的加速度通常是相同的，但也有不同的情况．

(2)处理连接体问题的方法：整体法与隔离法．要么先整体后隔离，要么先隔离后整体．

4.

图8－3－20

(2013·天津高考)一圆筒的横截面如图8－3－20所示，其圆心为O.筒内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B.圆筒下面有相距为d的平行金属板M、N，其中M板带正电荷，N板带等量负电荷．质量为m、电荷量为q的带正电粒子自M板边缘的P处由静止释放，经N板的小孔S以速度v沿半径SO方向射入磁场中．粒子与圆筒发生两次碰撞后仍从S孔射出，设粒子与圆筒碰撞过程中没有动能损失，且电荷量保持不变，在不计重力的情况下，求：

(1)M、N间电场强度E的大小；

(2)圆筒的半径R；

(3)保持M、N间电场强度E不变，仅将M板向上平移d，粒子仍从M板边缘的P处由静止释放，粒子自进入圆筒至从S孔射出期间，与圆筒的碰撞次数n.

[解析]　根据动能定理、洛伦兹力公式、牛顿第二定律解决问题．

(1)设两板间的电压为U，由动能定理得

qU＝mv²①

由匀强电场中电势差与电场强度的关系得

U＝Ed②

联立上式可得

E＝③

(2)粒子进入磁场后做匀速圆周运动，运用几何关系作出圆心为O′，圆半径为r.设第一次碰撞点为A，由于粒子与圆筒发生两次碰撞又从S孔射出，因此，SA弧所对的圆心角∠AO′S等于.

由几何关系得

r＝Rtan ④

粒子运动过程中洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律，得

qvB＝m⑤

联立④⑤式得

R＝⑥

(3)保持M、N间电场强度E不变，M板向上平移d后，设板间电压为U′，则

U′＝＝⑦

设粒子进入S孔时的速度为v′，由①式看出

＝

综合⑦式可得

v′＝v⑧

设粒子做圆周运动的半径为r′，则

r′＝⑨

设粒子从S到第一次与圆筒碰撞期间的轨迹所对圆心角为θ，比较⑥⑨两式得到r′＝R，可见

θ＝⑩

粒子需经过四个这样的圆弧才能从S孔射出，故

n＝3⑪

[答案]　(1)　(2)　(3)3

3.

图8－3－19

(多选)(2013·浙江高考)在半导体离子注入工艺中，初速度可忽略的磷离子P^＋和P^3＋，经电压为U的电场加速后，垂直进入磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里、有一定宽度的匀强磁场区域，如图8－3－19所示，已知离子P^＋在磁场中转过θ＝30°后从磁场右边界射出．在电场和磁场中运动时，离子P^＋和P^3＋(　)

A．在电场中的加速度之比为1∶1

B．在磁场中运动的半径之比为∶1

C．在磁场中转过的角度之比为1∶2

D．离开电场区域时的动能之比为1∶3

[解析]　应用动能定理和圆周运动规律分析两种离子的速度关系及在磁场中运动的半径关系，结合几何知识分析两离子在有界磁场中的偏转角．

磷离子P^＋与P^3＋电荷量之比q₁∶q₂＝1∶3，质量相等，在电场中加速度a＝，由此可知，a₁∶a₂＝1∶3，选项A错误；离子进入磁场中做圆周运动的半径r＝，又qU＝mv²，故有r＝ ，即r₁∶r₂＝∶1，选项B正确；设离子P^3＋在磁场中偏角为α，则sin α＝，sin θ＝(d为磁场宽度)，故有sin θ∶sin α＝1∶，已知θ＝30°，故α＝60°，选项C正确；全过程中只有电场力做功，W＝qU，故离开电场区域时的动能之比即为电场力做功之比，所以E_k1∶E_k2＝W₁∶W₂＝1∶3，选项D正确．

[答案]　BCD