3. 观察下列不等式1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，……

照此规律，第五个不等式为________________．

解析　先观察左边，第一个不等式为2项相加，第二个不等式为3项相加，第三个不等式为4项相加，则第五个不等式应为6项相加，右边分子为分母的2倍减1，分母即为所对应项数，故应填1＋＋＋＋＋<.　 答案　1＋＋＋＋＋<

2. 观察下列各式：a＋b＝1，a²＋b²＝3，a³＋b³＝4，a⁴＋b⁴＝7，a⁵＋b⁵＝11，…，则a¹⁰＋b¹⁰＝________.

解析　法一　由a＋b＝1，a²＋b²＝3得ab＝－1，代入后三个等式中符合，则a¹⁰＋b¹⁰＝(a⁵＋b⁵)²－2a⁵b⁵＝123.

法二　令a_n＝aⁿ＋bⁿ，则a₁＝1，a₂＝3，a₃＝4，a₄＝7，…得a_n＋2＝a_n＋a_n＋1，从而a₆＝18，a₇＝29，a₈＝47，a₉＝76，a₁₀＝123.　 答案　123

1．观察下列等式：1³＋2³＝3^2,1³＋2³＋3³＝6^2,1³＋2³＋3³＋4³＝10²，…，根据上述规律，第五个等式为_______________________________　

解析　1³＋2³＝3²＝(1＋2)^2,1³＋2³＋3³＝6²＝(1＋2＋3)^2,1³＋2³＋3³＋4³＝10²＝(1＋2＋3＋4)²，则1³＋2³＋…＋n³＝(1＋2＋…＋n)²＝²，故第五个等式即为当n＝6时，1³＋2³＋3³＋4³＋5³＋6³＝²＝21².

答案　1³＋2³＋3³＋4³＋5³＋6³＝21²

5．用数学归纳法证明不等式＋＋…＋＞的过程中，由n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是________．

[训练] 1已知数列{a_n}满足：a₁＝1，a＝a＋(n≥2)，a_n≥n.

求证：＋＋…＋≤4(n＋1)－1.

2 设数列{a_n}的前n项和为S_n，且方程x²－a_nx－a_n＝0有一根为S_n－1，n＝1,2,3，….

(1)求a₁，a₂；

(2)猜想数列{S_n}的通项公式，并给出严格的证明．

3在数列{a_n}、{b_n}中，a₁＝2，b₁＝4，且a_n，b_n，a_n＋1成等差数列，b_n，a_n＋1，b_n＋1成等比数列(n∈N^*)．

(1)求a₂，a₃，a₄及b₂，b₃，b₄，由此猜测{a_n}，{b_n}的通项公式，并证明你的结论；

(2)证明：＋＋…＋＜.

2013-2014和风中学高二理科数学期末复习（推理与证明）

考向一　归纳推理

[例1](1) 观察下列等式：

可以推测：1³＋2³＋3³＋…＋n³＝________(n∈N^*，用含有n的代数式表示)．

解析　第二列等式的右端分别是1×1,3×3,6×6,10×10,15×15，∵1,3,6,10,15，…第n项a_n，与第n－1项a_n－1(n≥2)的差为：a_n－a_n－1＝n，∴a₂－a₁＝2，a₃－a₂＝3，a₄－a₃＝4，…，a_n－a_n－1＝n，各式相加得，a_n＝a₁＋2＋3＋…＋n，其中a₁＝1，∴a_n＝1＋2＋3＋…＋n，即a_n＝，∴a＝n²(n＋1)².

答案　n²(n＋1)²

[训练1]

4．某个命题与自然数n有关，若n＝k(k∈N^*)时命题成立，那么可推得当n＝k＋1时该命题也成立，现已知n＝5时，该命题不成立，那么可以推得下列成立的说法是________．

①n＝6时该命题不成立；②n＝6时该命题成立；③n＝4时该命题不成立；④n＝4时该命题成立．

3．用数学归纳法证明：“1＋a＋a²＋…＋a^n＋1＝(a≠1)”在验证n＝1时，左端计算所得的项为________．

2．利用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋＜f(n)(n≥2，n∈N^*)的过程，由n＝k到n＝k＋1时，左边增加了________项．

1．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验第一个值n₀ 等于________．

8. 命题p：已知椭圆＋＝1(a>b>0)，F₁，F₂是椭圆的两个焦点，P为椭圆上的一个动点，过点F₂作∠F₁PF₂的外角平分线的垂线，垂足为M，则OM的长为定值．类比此命题，在双曲线中也有命题q：已知双曲线－＝1(a>0，b>0)，F₁，F₂是双曲线的两个焦点，P为双曲线上的一个动点，过点F₂作∠F₁PF₂的________的垂线，垂足为M，则OM的长为定值．

考向三　演绎推理

[例3] 数列{a_n}的前n项和记为S_n，已知a₁＝1，a_n＋1＝S_n(n∈N_＋)，证明：

(1)数列是等比数列；　 (2)S_n＋1＝4a_n.

考向四　数学归纳法的原理

[例4]用数学归纳法证明：

1×2×3＋2×3×4＋…＋n×(n＋1)×(n＋2)＝.(n∈N^*)

7．圆x²＋y²＝r²在点(x₀，y₀)处的切线方程为x₀x＋y₀y＝r²，类似地，可以求得椭圆＋＝1在(2,1)处的切线方程为________．