7. 命题p：已知椭圆＋＝1(a>b>0)，F₁，F₂是椭圆的两个焦点，P为椭圆上的一个动点，过点F₂作∠F₁PF₂的外角平分线的垂线，垂足为M，则OM的长为定值．类比此命题，在双曲线中也有命题q：已知双曲线－＝1(a>0，b>0)，F₁，F₂是双曲线的两个焦点，P为双曲线上的一个动点，过点F₂作∠F₁PF₂的________的垂线，垂足为M，则OM的长为定值．

解析　对于椭圆，延长F₂M与F₁P的延长线交于Q.由对称性知，M为F₂Q的中点，且PF₂＝PQ，从而OM∥F₁Q且OM＝F₁Q.而F₁Q＝F₁P＋PQ＝F₁P＋PF₂＝2a，所以OM＝a.对于双曲线，过点F₂作∠F₁PF₂内角平分线的垂线，垂足为M，类比可得OM＝a.

答案　内角平分线

[方法总结] 归纳推理可以通过多求几项找规律．类比推理，从类比对象划分，主要有等差数列与等比数列的类比，其中等差数列中的加、减、乘、除运算与等比数列中的乘、除、乘方、开方运算对应．平面几何与立体几何的类比，其中平面几何中的点、线、面、长度、面积等，与立体几何中的线、面、体、面积、体积等对应．椭圆与双曲线的类比，其中椭圆与双曲线中有“互余”关系．

考向三　演绎推理

[例3] 数列{a_n}的前n项和记为S_n，已知a₁＝1，a_n＋1＝S_n(n∈N_＋)，证明：

(1)数列是等比数列；　 (2)S_n＋1＝4a_n.

证明　(1)∵a_n＋1＝S_n＋1－S_n，a_n＋1＝S_n，

∴(n＋2)S_n＝n(S_n＋1－S_n)，即nS_n＋1＝2(n＋1)S_n.　 ∴＝2·，(小前提)

故是以2为公比的等比数列．(结论)

(大前提是等比数列的定义，这里省略了)

(2)由(1)可知＝4·(n≥2)，∴S_n＋1＝4(n＋1)·＝4··S_n－1＝4a_n(n≥2)(小前提)

又a₂＝3S₁＝3，S₂＝a₁＋a₂＝1＋3＝4＝4a₁，(小前提)

∴对于任意正整数n，都有S_n＋1＝4a_n(结论)

(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)

[方法总结] 演绎推理是从一般到特殊的推理；其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略．

考向四　数学归纳法的原理

7．圆x²＋y²＝r²在点(x₀，y₀)处的切线方程为x₀x＋y₀y＝r²，类似地，可以求得椭圆＋＝1在(2,1)处的切线方程为________．

解析　由类比结构可知，相应的切线方程为：＋＝1，

代入点坐标，所求切线方程为：＋＝1. 答案　＋＝1

6. 如果函数f(x)在区间D上是“凸函数”，则对于区间D内任意的x₁，x₂，…，x_n，有≤f成立．已知函数y＝sin x在区间[0，π]上是“凸函数”，则在△ABC中，sin A＋sin B＋sin C的最大值是________．

解析　由凸函数定义，知sin A＋sin B＋sin C≤3sin＝. 答案　

5. 若等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，前n项的和为S_n，则数列为等差数列，且通项为＝a₁＋(n－1)·.类似地，若各项均为正数的等比数列{b_n}的首项为b₁，公比为q，前n项的积为T_n，则数列{}为等比数列，通项为________．

解析　由等差数列与等比数列的运算类比，可得＝b₁()^n－1.答案　＝b₁()^n－1

4. 在共有2 013项的等差数列{a_n}中，有等式(a₁＋a₃＋…＋a_{2 013})－(a₂＋a₄＋…＋a_{2 012})＝a_{1 007}成立；类比上述性质，在共有2 011项的等比数列{b_n}中，相应的有等式________成立．

解析　将等式中加、减换成乘除可得＝b_{1 006}.答案　＝b_{1 006}

3．给出下列三个类比结论．①(ab)ⁿ＝aⁿbⁿ与(a＋b)ⁿ类比，则有(a＋b)ⁿ＝aⁿ＋bⁿ；②log_a(xy)＝log_ax＋log_ay与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β；③(a＋b)²＝a²＋2ab＋b²与(a＋b)²类比，则有(a＋b)²＝a²＋2a·b＋b². 其中结论正确的序号是________．

答案　③

2．在平面上，若两个正方形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4；类似地，在空间内，若两个正方体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．

解析　由正方体的体积之比等于棱长的立方之比可得．答案　1∶8

1. 记等差数列{a_n}的前n项和为S_n，利用倒序求和的方法，可将S_n表示成首项a₁、末项a_n与项数n的一个关系式，即公式S_n＝；类似地，记等比数列{b_n}的前n项积为T_n，且b_n>0(n∈N^*)，试类比等差数列求和的方法，可将T_n表示成首项b₁、末项b_n与项数n的一个关系式，即公式T_n＝________.

解析　利用等比数列性质，即若m＋n＝p＋q，则b_m·b_n＝b_p·b_q，

得T＝(b₁b₂…b_n)·(b_nb_n－1…b₂b₁)＝(b₁b_n)ⁿ，即T_n＝(b₁b_n).　 答案　(b₁b_n)

6. 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：

①sin² 13°＋cos² 17°－sin 13°cos 17°；②sin² 15°＋cos² 15°－sin 15°cos 15°；

③sin² 18°＋cos² 12°－sin 18°cos 12°；④sin² (－18°)＋cos² 48°－sin(－18°)cos 48°；

⑤sin²(－25°)＋cos² 55°－sin(－25°)cos 55°.

(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；

(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．

解　法一(1)选择②式，计算如下：sin²15°＋cos²15°－sin 15°cos 15°＝1－sin 30°＝1－＝.

(2)三角恒等式为sin²α＋cos²(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝.

证明如下：sin²α＋cos²(30°－α)－sin αcos(30°－α)

＝sin²α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)²－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)

＝sin²α＋cos²α＋sin αcos α＋sin²α－sin αcos α－sin²α＝sin²α＋cos²α＝.

考向二　类比推理

[例2] (1)在平面几何里，有“若△ABC的三边长分别为a，b，c，内切圆半径为r，则三角形面积为S_△ABC＝(a＋b＋c)r”，拓展到空间，类比上述结论，“若四面体ABCD的四个面的面积分别为S₁，S₂，S₃，S₄，内切球的半径为r，则四面体的体积为________”．

解析　三角形的面积类比为四面体的体积，三角形的边长类比为四面体四个面的面积，内切圆半径类比为内切球的半径．二维图形中类比为三维图形中的，得V_{四面体ABCD}＝(S₁＋S₂＋S₃＋S₄)r.

答案　V_{四面体ABCD}＝(S₁＋S₂＋S₃＋S₄)r

(2) 设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，则S₄，S₈－S₄，S₁₂－S₈，S₁₆－S₁₂成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b_n}的前n项积为T_n，则T₄，________，________，成等比数列．

[审题与转化] 第一步：观察等差数列{a_n}前n项和S_n的特点．

[规范解答] 第二步：由等差数列“S₄，S₈－S₄，S₁₂－S₈，S₁₆－S₁₂”中的“差”，类比到等比数列中的“商”．故可得T₄，，，成等比数列．

[反思与回顾] 第三步：类比推理是以比较为基础的，它是根据两个或两类不同对象的某些特殊属性的比较，而做出有关另一个特殊属性的结论，是从特殊到特殊的推理，利用这类推理所得到的结论需要进行严格的证明．

[方法总结] (1)类比是从已经掌握了的事物的属性，推测正在研究的事物的属性，是以旧有的认识为基础，类比出新的结果；(2)类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性；(3)类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却有发现的功能．

[训练2]

4. 观察(x²)′＝2x，(x⁴)′＝4x³，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝________.　

解析　归纳类比，得偶函数f(x)的导函数g(x)是奇函数，从而有g(－x)＝－g(x)．

答案　－g(x)

　 5. 将正奇数排列如图形式，其中第i行第j个数表示a_ij(i∈N^*，j∈N^*)，例如a₃₂＝9，若a_ij＝2 009，则i＋j＝________.

解析　根据正奇数排列的正三角图表知，2 009是第1 005个奇数，应排在i行(其中i∈N^*)，则1＋2＋3＋…＋(i－1)＝＜1 005①，且1＋2＋3＋…＋i＝＞1 005②；验证i＝45时，①②式成立，所以i＝45；第45行第1个奇数是2×44×452＋1＝1 981，而1 981＋2(j－1)＝2 009，∴j＝15；所以，2 009在第45行第15个数，则i＋j＝60；

答案　60