3．已知线段CD是由线段AB平移得到的，点A（–1，4）的对应点为C（4，7），则点B（–4，–1）的对应点D的坐标为

　　　　　　　　　　　　　　　　 A．（1，2）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．（2，9）

　　　　　　　　　　　　　　　　 C．（5，3）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．（–9，–4）

2．以下问题，不适合用全面调查的是

　　　　　　　　　　　　　　　　 A．旅客上飞机前的安检　　　　　　　　　　　　　 B．学校招聘教师，对应聘人员的面试

　　　　　　　　　　　　　　　　 C．了解全校学生的课外读书时间　　　　　　 D．了解一批灯泡的使用寿命

一、选择题

1．下列实数是无理数的是

A．–1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．0

C．π　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．

3. 在数列{a_n}、{b_n}中，a₁＝2，b₁＝4，且a_n，b_n，a_n＋1成等差数列，b_n，a_n＋1，b_n＋1成等比数列(n∈N^*)．

(1)求a₂，a₃，a₄及b₂，b₃，b₄，由此猜测{a_n}，{b_n}的通项公式，并证明你的结论；

(2)证明：＋＋…＋＜.

(1)解　由条件得2b_n＝a_n＋a_n＋1，a＝b_nb_n＋1.由此可得a₂＝6，b₂＝9，a₃＝12，b₃＝16，a₄＝20，b₄＝25.　 猜测a_n＝n(n＋1)，b_n＝(n＋1)².

用数学归纳法证明：

①当n＝1时，由上可得结论成立．

②假设当n＝k(k≥1且k∈N^*)时，结论成立，即a_k＝k(k＋1)，b_k＝(k＋1)²，

那么当n＝k＋1时，a_k＋1＝2b_k－a_k＝2(k＋1)²－k(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)，b_k＋1＝＝(k＋2)²，

所以当n＝k＋1时，结论也成立．

由①②，可知a_n＝n(n＋1)，b_n＝(n＋1)²对一切正整数都成立．

(2)证明　＝＜.　 n≥2时，由(1)知a_n＋b_n＝(n＋1)(2n＋1)＞2(n＋1)n.

故＋＋…＋＜＋

＝＋＝＋＜＋＝.

综上，原不等式成立．

2.设数列{a_n}的前n项和为S_n，且方程x²－a_nx－a_n＝0有一根为S_n－1，n＝1,2,3，….

(1)求a₁，a₂；

(2)猜想数列{S_n}的通项公式，并给出严格的证明．

解　(1)当n＝1时，x²－a₁x－a₁＝0有一根为S₁－1＝a₁－1，

于是(a₁－1)²－a₁(a₁－1)－a₁＝0，解得a₁＝.

当n＝2时，x²－a₂x－a₂＝0有一根为S₂－1＝a₂－，

于是²－a₂－a₂＝0，解得a₂＝.

(2)由题设(S_n－1)²－a_n(S_n－1)－a_n＝0，即S－2S_n＋1－a_nS_n＝0.

当n≥2时，a_n＝S_n－S_n－1，代入上式得S_n－1S_n－2S_n＋1＝0.①

由(1)得S₁＝a₁＝，S₂＝a₁＋a₂＝＋＝.

由①可得S₃＝.由此猜想S_n＝，n＝1,2,3，….

下面用数学归纳法证明这个结论．

(ⅰ)n＝1时已知结论成立．

(ⅱ)假设n＝k(k∈N^*)时结论成立，即S_k＝，

当n＝k＋1时，由①得S_k＋1＝，即S_k＋1＝，故n＝k＋1时结论也成立．

综上，由(ⅰ)、(ⅱ)可知S_n＝对所有正整数n都成立．

[方法总结] 归纳、猜想、证明属于探索性问题的一种，一般经过计算、观察、归纳，然后猜想出结论，再利用数学归纳法证明．由于“猜想”是“证明”的前提和“对象”，因此要务必保持猜想的正确性，同时要注意数学归纳法步骤的书写．

5．用数学归纳法证明不等式＋＋…＋＞的过程中，由n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是________．

解析　不等式的左边增加的式子是＋－＝，故填.　 答案　

[例1]用数学归纳法证明：

1×2×3＋2×3×4＋…＋n×(n＋1)×(n＋2)＝.(n∈N^*)

证明　(1)当n＝1时，左边＝1×2×3＝6，右边＝＝6＝左边，所以等式成立．

(2)设当n＝k(k∈N^*)时，等式成立，

即1×2×3＋2×3×4＋…＋k×(k＋1)×(k＋2)＝.

则当n＝k＋1时，

左边＝1×2×3＋2×3×4＋…＋k×(k＋1)×(k＋2)＋(k＋1)(k＋2)(k＋3)

＝＋(k＋1)(k＋2)(k＋3)

＝(k＋1)(k＋2)(k＋3)＝

＝

所以n＝k＋1时，等式成立．

由(1)(2)可知，原等式对于任意的n∈N^*成立．

[训练] 1已知数列{a_n}满足：a₁＝1，a＝a＋(n≥2)，a_n≥n.

求证：＋＋…＋≤4(n＋1)－1.

证明　由题得a＝a＋，即a－a＝，于是有＋＋…＋＝a－a＝a－1.

要证明＋＋…＋≤4(n＋1)－1，只需证明a_n≤2n.

下面使用数学归纳法证明．

①当n＝1时，a₁＝1，<a₁<2，则当n＝1时，不等式成立．

②假设当n＝k时，k≤a_k≤2k成立，则当n＝k＋1时，a＝a＋≤4k＋＝4k＋，只要证明4k＋≤4(k＋1)，只需2k＋1≤2k(k＋1)，只需(2k＋1)³≤8k(k＋1)²，化简后恒成立，于是a_k＋1≤2(k＋1)，所以＋＋…＋≤4(n＋1)－1.

4．某个命题与自然数n有关，若n＝k(k∈N^*)时命题成立，那么可推得当n＝k＋1时该命题也成立，现已知n＝5时，该命题不成立，那么可以推得下列成立的说法是________．

①n＝6时该命题不成立；②n＝6时该命题成立；③n＝4时该命题不成立；④n＝4时该命题成立．

解析　法一　由n＝k(k∈N^*)成立，可推得当n＝k＋1时该命题也成立．因而若n＝4成立，必有n＝5成立．现知n＝5不成立，所以n＝4一定不成立．

法二　其逆否命题“若当n＝k＋1时该命题不成立，则当n＝k时也不成立”为真，故“n＝5时不成立”⇒“n＝4时不成立”．答案　③

3．用数学归纳法证明：“1＋a＋a²＋…＋a^n＋1＝(a≠1)”在验证n＝1时，左端计算所得的项为________．

答案　1＋a＋a²

2．利用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋＜f(n)(n≥2，n∈N^*)的过程，由n＝k到n＝k＋1时，左边增加了________项．

解析　1＋＋＋…＋－1＋＋＋…＋＝＋＋…＋，共增加了2^k项．答案　2^k

1．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验第一个值n₀ 等于________．

解析　边数最少的凸n边形是三角形．

答案　3