3.已知向量,,则( )
A. B. C. D.
2.下列函数中,定义域是且为增函数的是( )
A. B. C. D.
一、选择题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的4个选项中,选出符合题目要求的一项。
1.若集合,,则( )
A. B. C. D.
三、解答题:本大题共6小题,共75分.
(16)(本小题满分12分)
海关对同时从A,B,C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测,从各地区进口此种商品的数量(单位:件)如右表所示. 工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.
地区 |
A |
B |
C |
数量 |
50 |
150 |
100 |
(I)求这6件样品中来自A,B,C各地区商品的数量;
(II)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测,求这2件商品来自相同地区的概率.
(17) (本小题满分12分)
中,角A,B,C所对的边分别为. 已知.
(I)求的值;
(II)求的面积.
(18)(本小题满分12分)
如图,四棱锥中,分别为线段的中点.
(I)求证:;
(II)求证:.
(19) (本小题满分12分)
在等差数列中,已知公差,是与的等比中项.
(I)求数列的通项公式;
(II)设,记,求.
(20) (本小题满分13分)
设函数 ,其中为常数.
(I)若,求曲线在点处的切线方程;
(II)讨论函数的单调性.
(21)(本小题满分14分)
在平面直角坐标系中,椭圆的离心率为,直线被椭圆截得的线段长为.
(I)求椭圆的方程;
(II)过原点的直线与椭圆C交于A,B两点(A,B不是椭圆C的顶点). 点D在椭圆C上,且,直线BD与轴、轴分别交于M,N两点.
(i)设直线BD,AM的斜率分别为,证明存在常数使得,并求出的值;
(ii)求面积的最大值.
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.
(11) 执行右面的程序框图,若输入的的值为1,则输出的的值为 .
(12) 函数的最小正周期为 .
(13) 一个六棱锥的体积为,其底面是边长为2的正六边形,侧棱长都相等,则该六棱锥的侧面积为 。
(14) 圆心在直线上的圆与轴的正半轴相切,圆截轴所得弦的长为,则圆的标准方程为 。
(15) 已知双曲线的焦距为,右顶点为A,抛物线的焦点为F,若双曲线截抛物线的准线所得线段长为,且,则双曲线的渐近线方程为 。
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
(1) 已知是虚数单位. 若=,则
(A) (B) (C) (D)
(2) 设集合,则
(A) (B) (C) (D)
(3) 函数的定义域为
(A) (B) (C) (D)
(4) 用反证法证明命题:“设为实数,则方程至少有一个实根”时,要做的假设是
(A) 方程没有实根 (B) 方程至多有一个实根
(C) 方程至多有两个实根 (D) 方程恰好有两个实根
(5) 已知实数满足,则下列关系式恒成立的是
(A) (B)
(C) (D)
(6) 已知函数的图象如右图,则下列结论成立的是
(A) (B)
(C) (D)
(7) 已知向量. 若向量的夹角为,则实数
(A) (B) (C) 0 (D)
(8) 为了研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验,所有志愿者的舒张压数据(单位:kPa)的分组区间为,将其按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二组,……,第五组,右图是根据试验数据制成的频率分布直方图。已知第一组与第二组共有20人,第三组中没有疗效的有6人,则第三组中有疗效的人数为
(A) 6
(B) 8
(C) 12
(D) 18
(9) 对于函数,若存在常数,使得取定义域内的每一个值,都有,则称为准偶函数,下列函数中是准偶函数的是
(A) (B)
(C) (D)
(10) 已知满足约束条件当目标函数在该约束条件下取到最小值时,的最小值为
(A) 5 (B) 4 (C) (D) 2
第II卷(共100分)
21.(满分14分)随机将这2n个连续正整数分成A,B两组,每组n个数,A组最小数为,最大数为;B组最小数为,最大数为,记
(1)当时,求的分布列和数学期望;
(2)令C表示事件与的取值恰好相等,求事件C发生的概率;
(3)对(2)中的事件C,表示C的对立事件,判断和的大小关系,并说明理由。
20.(本小题满分13分)
如图,已知双曲线的右焦点,点分别在的两条渐近线上,轴,∥(为坐标原点).
(1)求双曲线的方程;
(2)过上一点的直线与直线相交于点,与直线相交于点,证明点在上移动时,恒为定值,并求此定值
18、(本小题满分12分)
已知函数.
(1) 当时,求的极值;
(2) 若在区间上单调递增,求b的取值范围.
19(本小题满分12分)
如图,四棱锥中,为矩形,平面平面.
(1)求证:
(2)若问为何值时,四棱锥的体积最大?并求此时平面与平面夹角的余弦值.
17、(本小题满分12分)
已知首项都是1的两个数列(),满足.
(1) 令,求数列的通项公式;
(2) 若,求数列的前n项和.
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