3．命题“，”的否定是

A．，　　　 　　　　　　　　　　　　　 B．，　

C．，　　　　 　　　　　　　　　　　　 D．，

2．i为虚数单位，　

A．1　　　　　　 　　 B．　　　　　 　　　 C．i　　　　　　　 　　 D．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知全集，集合，则　

　　 A．　 　　　　 B．　　　 　　　 C．　　　　 　 D．

21、(本小题满分14分)

已知函数，其中，为自然对数的底数。

（Ⅰ）设是函数的导函数，求函数在区间上的最小值；

（Ⅱ）若，函数在区间内有零点，证明：。

本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化等数学思想，并考查思维的严谨性.

（Ⅰ）

①当时，，所以.

②当时，由得.

若，则；若，则.

所以当时，在上单调递增，所以.

当时，在上单调递减，在上单调递增，所以.

当时，在上单调递减，所以.

（Ⅱ）设为在区间内的一个零点，则由可知，

在区间上不可能单调递增，也不可能单调递减.

则不可能恒为正，也不可能恒为负.

故在区间内存在零点.

同理在区间内存在零点.

所以在区间内至少有两个零点.

由（Ⅰ）知，当时，在上单调递增，故在内至多有一个零点.

当时，在上单调递减，故在内至多有一个零点.

所以.

此时，在上单调递减，在上单调递增，

因此，必有

.

由得：，有

.

解得.

所以，函数在区间内有零点时，.

19、(本小题满分12分)

设等差数列的公差为，点在函数的图象上（）。

（Ⅰ）证明：数列为等差数列；

（Ⅱ）若，函数的图象在点处的切线在轴上的截距为，求数列的前项和。

[答案]（1）详见解析；（2）.

试题分析：本题考查等差数列与等比数列的概念、等差数列与等比数列的通项公式与前n项和、导数的 几何意义等基础知识，考察运算求解能力、推理论证能力。

（1）由已知，..

当时，.

所以，数列是首项为，公比为的等比数列.

（2）求导得，所以在处的切线为，令得，

所以，.所以，

其前项和：…………………………①

两边乘以4得：…………………………②

①－②得：，所以.

.20、(本小题满分13分)

已知椭圆：（）的左焦点为，离心率为。

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设为坐标原点，为直线上一点，过作的垂线交椭圆于，。当四边形是平行四边形时，求四边形的面积。

[答案](1) ；（2）

试题分析：本题主要考查直线及椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考察推理论证能力、运算求解能力，考察数形结合、转化与化归、分类与整合等数学思想。

（1）由已知得：，，所以

又由，解得，所以椭圆的标准方程为：.

（2）设T点的坐标为，则直线TF的斜率.

当时，直线PQ的斜率，直线PQ的方程是

当时，直线PQ的方程是，也符合的形式.

将代入椭圆方程得：.

其判别式.

设，

则.

因为四边形OPTQ是平行四边形，所以，即.

所以

解得.

此时四边形OPTQ的面积

.

18、(本小题满分12分)

在如图所示的多面体中，四边形和都为矩形。

（Ⅰ）若，证明：直线平面；

（Ⅱ）设，分别是线段，的中点，在线段上是否存在一点，使直线平面？请证明你的结论。

[答案]（1）证明详见解析；（2）存在，M为线段AB的中点时，直线　 平面.

试题分析：本题主要考查空间线面平行和垂直的 判定与性质等基础知识，考察空间想象能力、推理论证能力。

（Ⅰ）因为四边形和都是矩形，

所以.

因为AB，AC为平面ABC内的两条相交直线，

所以平面ABC.

因为直线平面ABC内，所以.

又由已知，为平面内的两条相交直线，

所以，平面.

（2）取线段AB的中点M，连接，设O为的交点.

由已知，O为的中点.

连接MD，OE，则MD，OE分别为的中位线.

所以，，

连接OM，从而四边形MDEO为平行四边形，则.

因为直线平面，平面，

所以直线平面.

即线段AB上存在一点M（线段AB的中点），使得直线平面.

17、(本小题满分12分)

已知函数

（Ⅰ）求的单调递增区间；

（Ⅱ）若是第二象限角，，求的值。

[答案]（1）；（2）,.

试题分析：本题主要考查正弦型函数的性质，二倍角于和差角公式，简单的三角恒等变换等基础知识，考察运算求解能力，考察分类与整合，化归与转化等数学思想

（1）；

（2）由已知，有，

即，.

若，则，

若，则.

综上得，的值为或.

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16、(本小题满分12分)

一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字，，，这三张卡片除标记的数字外完全相同。随机有放回地抽取次，每次抽取张，将抽取的卡片上的数字依次记为，，。

（Ⅰ）求“抽取的卡片上的数字满足”的概率；

（Ⅱ）求“抽取的卡片上的数字，，不完全相同”的概率。

[答案]（1）；（2）.

.　　 本题主要考查随机事件的概率,古典概型等概念及相关计算，考察应用意识

（1）由题意，的所有可能为：

，

，

，共27种.

设“抽取的卡片上的数字满足”为事件A，则事件A包括，共3种，

所以.

因此“抽取的卡片上的数字满足”的概率为.

（2）设“抽取的卡片上的数字不完全相同”为事件B，

则事件包括，共3种，

所以.

因此“抽取的卡片上的数字不完全相同”的概率为.

15、以表示值域为的函数组成的集合，表示具有如下性质的函数组成的集合：对于函数，存在一个正数，使得函数的值域包含于区间。例如，当，时，，。现有如下命题：

①设函数的定义域为，则“”的充要条件是“，，”；

②若函数，则有最大值和最小值；

③若函数，的定义域相同，且，，则；

④若函数（，）有最大值，则。

其中的真命题有____________。（写出所有真命题的序号）。

[答案]①③④

14、平面向量，，（），且与的夹角等于与的夹角，则____________。

[答案] 2.