22．(2010·北京)(12分)已知函数f(x)＝ln(1＋x)－x＋x²(k≥0)．

(1)当k＝2时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；

(2)求f(x)的单调区间．

解　(1)当k＝2时，f(x)＝ln(1＋x)－x＋x²

f′(x)＝－1＋2x.

由于f(1)＝ln2，f′(1)＝，

所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－ln2＝(x－1)，

即3x－2y＋2ln2－3＝0.

(2)f′(x)＝，x∈(－1，＋∞)，

当k＝0时，f′(x)＝－，

所以在区间(－1,0)上f′(x)>0；在区间(0，＋∞)上f′(x)<0，

故f(x)的单调增区间为(－1,0)，单调减区间为(0，＋∞)．

当0<k<1时，由f′(x)＝＝0，得x₁＝0，x₂＝>0.

所以在区间(－1,0)和(，＋∞)上f′(x)>0；在(0，)上f′(x)<0，

故f(x)的单调增区间为(－1,0)和(，＋∞)，单调减区间为(0，)．

当k＝1时，f′(x)＝>0，故f(x)的单调增区间为(－1，＋∞)．

当k>1时，由f′(x)＝＝0，得x₁＝0，x₂＝∈(－1,0)，

所以在区间(－1，)和(0，＋∞)上f′(x)>0；

在区间(，0)上f′(x)<0，

故f(x)的单调增区间为(－1，)和(0，＋∞)，单调减区间为(，0)．

21．(12分)已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁＝1，S_n＝n²a_n(n∈N^*)．

(1)写出S₁，S₂，S₃，S₄，并猜想S_n的表达式；

(2)用数学归纳法证明你的猜想，并求出a_n的表达式．

解　(1)易求得S₁＝1＝，S₂＝，S₃＝＝，S₄＝，猜想S_n＝.

(2)①当n＝1时，S₁＝＝1，猜想成立．

②假设n＝k(k∈N^*)时，S_k＝，

则当n＝k＋1时，

S_k＋1＝(k＋1)²a_k＋1

＝(k＋1)²(S_k＋1－S_k)，

∴S_k＋1＝·＝，

这表明当n＝k＋1时，猜想也成立．

根据①、②可知，对n∈N^*，

S_n＝，从而a_n＝＝.

20．(12分)已知函数f(x)＝ax³＋bx²＋cx在点x₀处取得极小值－7，其导函数y＝f′(x)的图像经过点(－1,0)，(2,0)，如下图所示，试求x₀，a，b，c的值．

解　由y＝f′(x)的图像可知，

在(－∞，－1)上f′(x)<0，在(－1,2)上f′(x)>0，在(2，＋∞)上f′(x)<0，故f(x)在(－∞，－1)上递减，在(－1,2)上递增，在(2，＋∞)上递减．因此，f(x)在x＝－1处取得极小值，

所以x₀＝－1.

∵f(x)＝ax³＋bx²＋cx，

∴f′(x)＝3ax²＋2bx＋c.

故由f′(－1)＝0，f′(2)＝0，f(－1)＝－7，

得解得

a＝－2，b＝3，c＝12.

19．(12分)已知函数f(x)＝x²e^－2x，求函数在[1,2]上的最大值．

解　∵f(x)＝x²e^－2x，

∴f′(x)＝2xe^－2x＋x²(－2)e^－2x

＝e^－2x(2x－2x²)

＝－2x(x－1)e^－2x.

当x∈(1,2)时，f′(x)<0，

∴f(x)在[1,2]上单调递减．

∴f(x)在[1,2]上的最大值为f(1)＝e^－2.

18．(12分)已知x，y为共轭复数，且(x＋y)²－3xyi＝4－6i，求x，y的值．

解　设x＝a＋bi(a，b∈R)，则y＝a－bi，代入原式得

(2a)²－3(a²＋b²)i＝4－6i，

∴解得

或或

或

∴或

或或

三、解答题

17．(10分)用反证法证明：在△ABC中，若sinA>sinB，则∠B必为锐角．

证明　假设B不是锐角，

则0°<∠A<∠A＋∠C＝180°－∠B≤90°，

∴sinA<sin(180°－B)，

即sinA<sinB，这与已知sinA>sinB矛盾，故∠B必为锐角．

16．y＝xe^x＋1的单调增区间为________．

解析　y′＝e^x＋xe^x

＝e^x(x＋1)．

令y′>0，得e^x(x＋1)>0，

∵e^x>0，∴x＋1>0，即x>－1，

∴增区间为(－1，＋∞)．

答案　(－1，＋∞)

15．设n∈N^*，且sinx＋cosx＝－1，则sinⁿx＋cosⁿx＝________.

解析　∵sinx＋cosx＝－1，

∴sin²x＋2sinxcosx＋cos²x＝1.

又sin²x＋cos²x＝1，

∴2sinxcosx＝0.

∴sinx＝0，或cosx＝0.

当sinx＝0时，cosx＝－1，

∴sinⁿx＋cosⁿx＝(－1)ⁿ.

当cosx＝0时，sinx＝－1，

∴sinⁿx＋cosⁿx＝(－1)ⁿ.

答案　(－1)ⁿ

14．已知函数f(x)＝3x²＋2x，若－1f(x)dx＝2f(a)成立，则a＝________.

解析　 (3x²＋2x)dx

＝(x³＋x²)＝2，

∴2(3a²＋2a)＝2.

即3a²＋2a－1＝0，

解得a＝－1，或a＝.

答案　－1或

二、填空题

13．(2010·重庆)已知复数z＝1＋i，则－z＝________.

解析　－z＝－(1＋i)

＝(1－i)－(1＋i)＝－2i.

答案　－2i