6．若sin＝－，且π<x<2π，则x等于(　)

A.π　 　　B.π 　　C.π 　　D.π

解析　sin＝cosx＝－，

又x∈(π，2π)，∴x＝.

答案　B

5．如果函数f(x)＝sin(πx＋θ)(0<θ<2π)的最小正周期是T，且当x＝2时取得最大值，那么(　)

A．T＝2，θ＝　 　　　　　　　　　　　　 B．T＝1，θ＝π

C．T＝2，θ＝π　 　　　　　　　　　　　　 D．T＝1，θ＝

解析　由题意知T＝＝2，又当x＝2时，有2π＋θ＝2kπ＋(k∈Z)，∴θ＝.

答案　A

4．若|cosθ|＝cosθ，|tanθ|＝－tanθ，则的终边在(　)

A．第一、三象限　 　　　　　　　　　　 B．第二、四象限

C．第一、三象限或x轴上　 　　　 D．第二、四象限或x轴上

解析　由题意知，cosθ≥0，tanθ≤0，所以θ在x轴上或在第四象限，故在第二、四象限或在x轴上．

答案　D

3．(2010·北京海淀)函数y＝sin的图像(　)

A．关于直线x＝－对称

B．关于直线x＝－对称

C．关于直线x＝对称

D．关于直线x＝π对称

解析　将x＝－代入函数式，y＝sin＝sin＝1，取得最大值．

∴x＝－是函数y＝sin的一条对称轴，故应选B.

答案　B

2．(2011·山东)若点(a,9)在函数y＝3^x的图像上，则tan的值为(　)

A．0　　B.　　C．1　　D.

解析　由题意，得3^a＝9，得a＝2，∴tan＝tan＝tan＝.

答案　D

一、选择题

1．下列说法中，正确的是(　)

A．第二象限的角是钝角

B．第三象限的角必大于第二象限的角

C．－831°是第二象限角

D．－95°20′，984°40′，264°40′是终边相同的角

解析　A、B均错，－831°＝－720°－111°是第三象限的角，C错，∴选D.

答案　D

三、解答题

12.(10分)某厂工人在一年里如果有1个季度完成生产任务,则可得奖金300元;如果有2个季度完成生产任务,则可得奖金750元;如果有3个季度完成生产任务,则可得奖金1260元;如果有4个季度完成生产任务,则可得奖金1800元;如果四个季度都未完成任务,则没有奖金.假设某工人每季度完成任务与否是等可能的,求他在一年里所得奖金的分布列.

解:设该工人在一年里所得奖金为X,

则X是一个离散型随机变量.

由于该工人每季度完成任务与否是等可能的,所以他每季度完成任务的概率等于,所以

P(X=0)=,

P(X=300)=,

P(X=750)=,

P(X=1260)=,

P(X=1800)=.

故X的分布列为

13.(12分)(2012天津高考,理16)现有4个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏,掷出点数为1或2的人去参加甲游戏,掷出点数大于2的人去参加乙游戏.

(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率;

(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率;

(3)用X,Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数,记ξ=|X-Y|,求随机变量ξ的分布列与数学期望E(ξ).

解:依题意,这4个人中,每个人去参加甲游戏的概率为,去参加乙游戏的概率为.

设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件A_i(i=0,1,2,3,4),

则P(A_i)=.

(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率P(A₂)=.

(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B,则B=A₃∪A₄.由于A₃与A₄互斥,故

P(B)=P(A₃)+P(A₄)

=.

所以,这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为.

(3)ξ的所有可能取值为0,2,4.

由于A₁与A₃互斥,A₀与A₄互斥,故

P(ξ=0)=P(A₂)=,

P(ξ=2)=P(A₁)+P(A₃)=,

P(ξ=4)=P(A₀)+P(A₄)=.

所以ξ的分布列是

随机变量ξ的数学期望E(ξ)=0×+2×+4×.

14.(12分)某同学参加3门课程的考试.假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为,第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p,q(p>q),且不同课程是否取得优秀成绩相互独立.记ξ为该生取得优秀成绩的课程数,其分布列为

(1)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率;

(2)求p,q的值;

(3)求数学期望E(ξ).

解:事件A_i表示“该生第i门课程取得优秀成绩”,i=1,2,3.

由题意知P(A₁)=,P(A₂)=p,P(A₃)=q.

(1)由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“ξ=0”是对立的,所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是

1-P(ξ=0)=1-.

(2)由题意知

P(ξ=0)=P()=(1-p)(1-q)=,

P(ξ=3)=P(A₁A₂A₃)=pq=.

整理得pq=,p+q=1.

由p>q,可得p=,q=.

(3)由题意知

a=P(ξ=1)=P(A₁)+P( A₂)+P( A₃)=(1-p)(1-q)+p(1-q)+(1-p)q=,

b=P(ξ=2)=1-P(ξ=0)-P(ξ=1)-P(ξ=3)=.

所以E(ξ)=0×P(ξ=0)+1×P(ξ=1)+2×P(ξ=2)+3×P(ξ=3)=.

二、填空题

9.已知正态总体的数据落在区间(-3,-1)内的概率和落在区间(3,5)内的概率相等,那么这个正态总体的数学期望为　　　.　

答案:1

解析:区间(-3,-1)和区间(3,5)关于x=1对称(-1的对称点是3,-3的对称点是5),所以正态分布的数学期望就是1.[来源:]

10.将一个大正方形平均分成9个小正方形,向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中),投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A,投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B,则P(A|B)=　　.　

答案:

解析:根据几何概型,得P(AB)=,P(B)=,所以P(A|B)=.

11.某毕业生参加人才招聘会,分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历,假定该毕业生得到甲公司面试的概率为,得到乙、丙两公司面试的概率均为p,且三个公司是否让其面试是相互独立的.记X为该毕业生得到面试的公司个数.若P(X=0)=,则随机变量X的数学期望E(X)=　　.　

答案:

解析:由P(X=0)=,所以×(1-p)×(1-p)=,得p=,所以X的分布列如下:

X	0	1	2	3
P				×

所以E(X)=0×+1×+2×+3×.

一、选择题

1.袋中有2个黑球6个红球,从中任取两个,可以作为随机变量的是(　)

A.取到的球的个数

B.取到红球的个数

C.至少取到一个红球

D.至少取到一个红球的概率

答案:B

解析:取到球的个数是一个固定的数字,不是随机变量,故A不正确;取到红球的个数是一个随机变量,它的可能取值是0,1,2,故B正确;至少取到一个红球表示取到一个红球,或取到两个红球,表示一个事件,故C不正确;D显然不正确.故选B.

2.(2013福建厦门模拟)位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动:质点每次移动一个单位长度,移动的方向为向上或向右,并且向上、向右移动的概率都是.质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是(　)

A.　　　　　　　　　　　　 B.

C.　　　　　　　　　　　　 D.

答案:B

解析:由于质点每次移动一个单位长度,移动的方向为向上或向右,移动五次后位于点(2,3),所以质点P必须向右移动二次,向上移动三次,故其概率为·.

3.某射手射击所得环数ξ的分布列如下:

已知ξ的数学期望E(ξ)=8.9,则y的值为(　)

A.0.2　　　　　　　　　 B.0.4

C.0.6　　　　　　　　　 D.0.8

答案:B

解析:∵E(ξ)=7x+8×0.1+9×0.3+10y=7(0.6-y)+10y+3.5=7.7+3y,

∴7.7+3y=8.9,∴y=0.4.

4.某普通高校招生体育专业测试合格分数线确定为60分.甲、乙、丙三名考生独立参加测试,他们能达到合格的概率分别是0.9,0.8,0.75,则三个中至少有一人达标的概率为(　)

A.0.015　　　　　　　　 B.0.005

C.0.985　　　　　　　　 D.0.995

答案:D

解析:三人都不合格的概率为(1-0.9)×(1-0.8)×(1-0.75)=0.005.

∴至少有一人合格的概率为1-0.005=0.995.

5.将两枚质地均匀的骰子各掷一次,设事件A={两个点数互不相同},B={出现一个5点},则P(B|A)=(　)

A.　　　　　　　　　　　　 B.

C.　　　　　　　　　　　　 D.

答案:A

解析:出现点数互不相同的共有6×5=30种,

出现一个5点共有5×2=10种,

∴P(B|A)=.

6.已知一次考试共有60名同学参加,考生成绩X~N(110,5²),据此估计,大约有57人的分数所在的区间为(　)

A.(90,100]　　　　　 B.(95,125]

C.(100,120]　　　　　 D.(105,115]

答案:C

解析:∵X~N(110,5²),

∴μ=110,σ=5.

=0.95≈P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=P(100<X≤120).

∴X∈(100,120].

7.把10个骰子全部投出,设出现6点的骰子的个数为X,则P(X≤2)=(　)

A.

B.

C.

D.以上都不对

答案:D

解析:P(X≤2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=.

8.已知随机变量X~B(6,0.4),则当η=-2X+1时,D(η)=(　)

A.-1.88　　　　　　　　 B.-2.88

C.5.76　　　　　　　　　 D.6.76

答案:C

解析:由已知D(X)=6×0.4×0.6=1.44,则D(η)=4D(X)=4×1.44=5.76.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

　 （17）（本小题满分12分）

已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c = asinC－ccosA

(1)　　 求A

(2)　　 若a=2，△ABC的面积为，求b,c.

18.（本小题满分12分）

某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售。如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理。

（Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式。

（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：

(i)假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数；

(ii)若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率。

（19）（本小题满分12分）

如图，三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA₁，D是棱AA₁的中点。

(Ｉ) 证明：平面BDC₁⊥平面BDC

（Ⅱ）平面BDC₁分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比。

（20）（本小题满分12分）

设抛物线C：x²=2py(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点。

（I）若∠BFD=90°,△ABD的面积为4，求p的值及圆F的方程；

（II）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值。

（21）（本小题满分12分）

设函数f(x)= e^x－ax－2

(Ⅰ)求f(x)的单调区间

(Ⅱ)若a=1，k为整数，且当x>0时，(x－k) f´(x)+x+1>0，求k的最大值

请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清楚题号。

（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF//AB，证明：

(Ⅰ)CD=BC；

(Ⅱ)△BCD∽△GBD

(23)(本小题满分10分)选修4—4；坐标系与参数方程

　　　 已知曲线C₁的参数方程是(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD的顶点都在C₂上，且A、B、C、D以逆时针次序排列，点A的极坐标为(2，)

(Ⅰ)求点A、B、C、D 的直角坐标；

(Ⅱ)设P为C₁上任意一点，求|PA| ²+ |PB|² + |PC| ²+ |PD|²的取值范围。

（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

　　　 已知函数f(x) = |x + a| + |x－2|.

(Ⅰ)当a =－3时，求不等式f(x)≥3的解集；

(Ⅱ)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围。