3．已知a，b为正实数．

(1)求证：＋≥a＋b；

(2)利用(1)的结论求函数y＝＋(0＜x＜1)的最小值．

[解]　(1)证明　∵＋－(a＋b)＝

＝＝.

又∵a＞0，b＞0，∴≥0，

当且仅当a＝b时等号成立．∴＋≥a＋b.

(2)∵0＜x＜1，∴1－x＞0，

由(1)的结论，函数y＝＋≥(1－x)＋x＝1.

当且仅当1－x＝x即x＝时等号成立．

∴函数y＝＋(0＜x＜1)的最小值为1.

2．以下三个命题：①若|a－b|＜1，则|a|＜|b|＋1；②若a、b∈R，则|a＋b|－2|a|≤|a－b|；③若|x|＜2，|y|＞3，则||＜，其中正确命题的序号是________．

[解析]　①|a|－|b|≤|a－b|＜1，所以|a|＜|b|＋1；

②|a＋b|－|a－b|≤|(a＋b)＋(a－b)|＝|2a|，

所以|a＋b|－2|a|≤|a－b|；

③|x|＜2，|y|＞3，所以＜，因此＜.

∴①②③均正确．

[答案]　①②③

1．设a，b，c，x，y，z均为正数，且a²＋b²＋c²＝10，x²＋y²＋z²＝40，ax＋by＋cz＝20，则等于(　)

A.　 B.　 C.　 D.

[解析]　由题意可得x²＋y²＋z²＝2ax＋2by＋2cz，

又a²＋b²＋c²＝10

相加可得(x－a)²＋(y－b)²＋(z－c)²＝10，

所以不妨令(或)，

则x＋y＋z＝2(a＋b＋c)，

∴＝.

[答案]　C

10．(2013·课标全国卷Ⅱ)设a、b、c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：(1)ab＋bc＋ac≤；(2)＋＋≥1.

[证明]　(1)由a²＋b²≥2ab，b²＋c²≥2bc，c²＋a²≥2ca，

得a²＋b²＋c²≥ab＋bc＋ca

由题设得(a＋b＋c)²＝1，

即a²＋b²＋c²＋2ab＋2bc＋2ca＝1.

所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.

(2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，

故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，

即＋＋≥a＋b＋c.所以＋＋≥1.

B组　能力提升

三、解答题

9．设a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：＋＋≥8.

[证明]　∵a＞0，b＞0，a＋b＝1，∴2≤a＋b＝1.

因此≤，≥4.

则＋＋＝(a＋b)＋

≥2·2 ＋4＝8.

故＋＋≥8成立．

8．设a＞b＞0，m＝－，n＝，则m与n的大小关系是________．

[解析]　∵a＞b＞0，∴m＝－＞0，n＝＞0.

∵m²－n²＝(a＋b－2)－(a－b)

＝2b－2＝2(－)＜0，

∴m²＜n²，从而m＜n.

[答案]　m＜n

7．已知0<a<，且M＝＋，N＝＋，则M，N的大小关系是________．

[解析]　M－N＝＋＝，

又因0<a<，得ab<1，

则M－N>0，即M>N.

[答案]　M>N

二、填空题

6．若a＞0，b＞0，a＋b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是________(写出所有正确命题的编号)．

①ab≤1；②＋≤；③a²＋b²≥2；④a³＋b³≥3；⑤＋≥2.

[解析]　令a＝b＝1，排除②④；

由2＝a＋b≥2⇒ab≤1，命题①正确；

a²＋b²＝(a＋b)²－2ab＝4－2ab≥2，命题③正确；

＋＝＝≥2，命题⑤正确．

[答案]　①③⑤

5．设a、b∈(0，＋∞)，且ab－a－b＝1，则有(　)

A．a＋b≥2(＋1)　 　　　　　　　　 B．a＋b≤＋1

C．a＋b＜＋1　 　　　　　　　　　　　 D．a＋b＞2(＋1)

[解析]　∵ab－a－b＝1，∴1＋a＋b＝ab≤².

令a＋b＝t(t＞0)，则1＋t≤(t＞0)．

解得t≥2(＋1)，则a＋b≥2(＋1)．

[答案]　A

4．已知a、b、c是正实数，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最小值为(　)

A．5　 B．7　 C．9　 D．11

[解析]　把a＋b＋c＝1代入＋＋得

＋＋

＝3＋＋＋

≥3＋2＋2＋2＝9.

[答案]　C