10.(1)已知函数f(x)=|x-7|-|x-3|.作出函数f(x)的图象;
(2)当x<5时,不等式|x-8|-|x-a|>2恒成立,求a的取值范围.
[解] (1)f(x)=
∴f(x)的图象如图所示,
(2)∵x<5,∴|x-8|-|x-a|>2,即8-x-|x-a|>2,
∴|x-a|<6-x,对x<5恒成立,即x-6<x-a<6-x对x<5恒成立,∴对x<5恒成立.
又∵x<5时,2x-6<4,∴4≤a<6.
∴a的取值范围为[4,6).
B组 能力提升
三、解答题
9.已知函数f(x)=|x-2|-|x-5|.
(1)证明:-3≤f(x)≤3;
(2)求不等式f(x)≥x2-8x+15的解集.
[解] (1)证明 f(x)=|x-2|-|x-5|=
当2<x<5时,-3<2x-7<3.
所以-3≤f(x)≤3.
(2)由(1)知,当x≤2时,f(x)≥x2-8x+15解集为∅;
当2<x<5时,f(x)≥x2-8x+15的解集为{x|5-≤x<5};
当x≥5时,f(x)≥x2-8x+15的解集为{x|5≤x≤6}.
综上,不等式f(x)≥x2-8x+15的解集为{x|5-≤x≤6}.
8.若存在实数x使|x-a|+|x-1|≤3成立,则实数a的取值范围是________.
[解析] ∵|x-a|+|x-1|≥|(x-a)-(x-1)|
=|a-1|,
要使|x-a|+|x-1|≤3有解,可使|a-1|≤3,
∴-3≤a-1≤3,∴-2≤a≤4.
[答案] [-2,4]
7.在实数范围内,不等式|2x-1|+|2x+1|≤6的解集为________.
[解析] 原不等式化为+≤3.
其几何意义是数轴上到与-两点的距离之和不超过3的点的集合.
又点或-到两点与-的距离之和恰好为3,
数形结合,不等式的解集为.
[答案]
二、填空题
6.不等式≥1的实数解为________.
[解析] ≥1⇔|x+1|≥|x+2|且x+2≠0,
∴x≤-且x≠-2.
[答案] {x|x≤-且x≠-2}
5.(2013·淮北五校高三第四次联考)若不等式|3x-a|<4的解集中的整数有且仅有2和3,则实数a的取值范围为( )
A.(7,10) B.[7,8] C.(5,8) D.(5,10)
[解析] 由|3x-a|<4得,-4<3x-a<4,<x<.
∵|3x-a|<4的解集中整数有且仅有2和3,∴解得,∴7≤a≤8.
[答案] B
4.若不等式|3x-b|<4的解集中的整数有且仅有1,2,3,则b的取值范围为( )
A.(0,1) B.(5,7) C.[3,5) D.(3,4)
[解析] 由|3x-b|<4,得<x<,
即解得5<b<7.
[答案] B
3.不等式|x-5|+|x+3|≥10的解集是( )
A.[-5,7] B.[-4,6]
C.(-∞,-5]∪[7,+∞) D.(-∞,-4]∪[6,+∞)
[解析] 法一 当x≤-3时,不等工化为5-x-x-3≥10,即x≤-4;
当-3<x<5时,不等式化为5-x+x+3≥10,即8≥10,故x∈∅;
当x≥5时,不等式化为x-5+x+3≥10,即x≥6.
综上,原不等式的解集为(-∞,-4]∪[6,+∞),故选D.
法二 利用绝对值的几何意义,即在数轴上的点x到5和-3的距离之和不小于10,所以x≤-4或x≥6,故选D.
[答案] D
2.设a,b为满足ab<0的实数,那么( )
A.|a+b|>|a-b| B.|a+b|<|a-b|
C.|a-b|<||a|-|b|| D.|a-b|<|a|+|b|
[解析] ∵ab<0,∴|a-b|=|a|+|b|>|a+b|.
[答案] B
一、选择题
1.“|x-1|<2成立”是“x(x-3)<0成立”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] ∵|x-1|<2⇔-1<x<3,
又x(x-3)<0⇔0<x<3.则(0,3)?(-1,3).
[答案] B
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