一、选择题
1.若n的展开式中第3项的二项式系数是15,则展开式中所有项系数之和为( )
A. B. C.- D.
[解析] 由题意知C==15,所以n=6,则n=6,
令x=1,得各项系数之和为6=.
[答案] B
3.从极点O作直线与另一直线l:ρcos θ=4相交于点M,在OM上取一点P,使OM·OP=12.
(1)求点P的轨迹方程;
(2)设R为l上的任意一点,求|RP|的最小值.
[解] (1)设动点P的极坐标为(ρ,θ),M的极坐标为(ρ0,θ),则ρρ0=12.
∵ρ0cos θ=4,
∴ρ=3cos θ,即为所求的轨迹方程.
(2)将ρ=3cos θ化为直角坐标方程,
得x2+y2=3x,
即2+y2=2,
知P的轨迹是以为圆心,半径为的圆.
直线l的直角坐标方程是x=4.
结合图形易得|RP|的最小值为1.
2.在极坐标系中,圆C:ρ=10cos θ和直线l:3ρcos θ-4ρsin θ-30=0相交于A,B两点,则线段AB的长是________.
[解析] 分别将圆C和直线l的极坐标方程化为直角坐标方程:圆C:x2+y2=10x,即(x-5)2+y2=25,
圆心C(5,0).
直线l:3x-4y-30=0.
因为圆心C到直线l的距离d==3.
所以|AB|=2=8.
[答案] 8
1.在极坐标系中,点到圆ρ=2cos θ的圆心的距离为( )
A.2 B.
C. D.
[解析] 点在平面直角坐标系中的坐标为(1,).
圆ρ=2cos θ化为平面直角坐标系中的一般方程为x2+y2=2x,即(x-1)2+y2=1.其圆心为(1,0).
∴所求两点间的距离为=.
[答案] D
10.(2013·课标全国卷Ⅰ)已知曲线C1的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2sin θ.
(1)把C1的参数方程化为极坐标方程;
(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).
[解] (1)将消去参数t,化为普通方程(x-4)2+(y-5)2=25,即C1:x2+y2-8x-10y+16=0.
将代入x2+y2-8x-10y+16=0得
ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0.
所以C1的极坐标方程为ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0.
(2)C2的普通方程为x2+y2-2y=0.
由解得或
所以C1与C2交点的极坐标分别为,.
B组 能力提升
三、解答题
9.(2014·常州模拟)已知曲线C1的极坐标方程为ρcos=-1,曲线C2的极坐标方程为ρ=2cos,判断曲线C1与C2的位置关系.
[解] 曲线C1的直角坐标方程为x+y+2=0,
曲线C2化为(x-1)2+(y-1)2=2,则圆心C2(1,1),半径r=.
又圆心C2到直线C1的距离d==.
从而d>,所以曲线C1与C2相离.
8.(2013·重庆高考)在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为ρcos θ=4的直线与曲线(t为参数)相交于A,B两点,则|AB|=________.
[解析] 由ρcos θ=4,知x=4.
又∴x3=y2(x≥0).
由得或
∴|AB|==16.
[答案] 16
7.(2014·广州六校联考)极坐标系下,直线ρcos=与圆ρ=2的公共点个数是________.
[解析] 将已知直线和圆的极坐标方程分别化为普通方程为x+y=2,x2+y2=4,由于圆心到直线的距离d=<2,故直线与圆相交,即公共点个数共有2个.
[答案] 2
二、填空题
6.(2013·合肥名校三模)在极坐标系中,点P到曲线l:ρcos=上的点的最短距离为________.
[解析] 因为极坐标下的点P在直角坐标系下的点坐标是(0,1),由x=ρcos θ,y=ρsin θ可得,曲线l:ρcos=的直角坐标方程为x-y-3=0,因此点P到该直线的最短距离为=2.
[答案] 2
5.(2013·安庆模拟(二))在极坐标系下,过直线ρcos θ+ρsin θ=2上任意一点M,作曲线ρ=1的两条切线,则这两条切线的夹角的最大值为( )
A. B. C. D.
[解析] 将极坐标方程ρcos θ+ρsin θ=2和ρ=1化为直角坐标系下的方程分别是x+y=2和x2+y2=1,坐标原点为O,设这两条切线的夹角为θ,根据对称性,结合图形可知,sin =,当|OM|取得最小值时夹角θ最大,而OM的最小值是点O到直线的距离=2,此时sin ==,故夹角θ的最大值为,选B.
[答案] B
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