一、选择题

1．若ⁿ的展开式中第3项的二项式系数是15，则展开式中所有项系数之和为(　)

A.　 B.　 C．－　 D.

[解析]　由题意知C＝＝15，所以n＝6，则ⁿ＝⁶，

令x＝1，得各项系数之和为⁶＝.

[答案]　B

3．从极点O作直线与另一直线l：ρcos θ＝4相交于点M，在OM上取一点P，使OM·OP＝12.

(1)求点P的轨迹方程；

(2)设R为l上的任意一点，求|RP|的最小值．

[解]　(1)设动点P的极坐标为(ρ，θ)，M的极坐标为(ρ₀，θ)，则ρρ₀＝12.

∵ρ₀cos θ＝4，

∴ρ＝3cos θ，即为所求的轨迹方程．

(2)将ρ＝3cos θ化为直角坐标方程，

得x²＋y²＝3x，

即²＋y²＝²，

知P的轨迹是以为圆心，半径为的圆．

直线l的直角坐标方程是x＝4.

结合图形易得|RP|的最小值为1.

2．在极坐标系中，圆C：ρ＝10cos θ和直线l：3ρcos θ－4ρsin θ－30＝0相交于A，B两点，则线段AB的长是________．

[解析]　分别将圆C和直线l的极坐标方程化为直角坐标方程：圆C：x²＋y²＝10x，即(x－5)²＋y²＝25，

圆心C(5,0)．

直线l：3x－4y－30＝0.

因为圆心C到直线l的距离d＝＝3.

所以|AB|＝2＝8.

[答案]　8

1．在极坐标系中，点到圆ρ＝2cos θ的圆心的距离为(　)

A．2　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.

C. 　 　　　　　　　　 D.

[解析]　点在平面直角坐标系中的坐标为(1，)．

圆ρ＝2cos θ化为平面直角坐标系中的一般方程为x²＋y²＝2x，即(x－1)²＋y²＝1.其圆心为(1,0)．

∴所求两点间的距离为＝.

[答案]　D

10．(2013·课标全国卷Ⅰ)已知曲线C₁的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρ＝2sin　 θ.

(1)把C₁的参数方程化为极坐标方程；

(2)求C₁与C₂交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．

[解]　(1)将消去参数t，化为普通方程(x－4)²＋(y－5)²＝25，即C₁：x²＋y²－8x－10y＋16＝0.

将代入x²＋y²－8x－10y＋16＝0得

ρ²－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.

所以C₁的极坐标方程为ρ²－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.

(2)C₂的普通方程为x²＋y²－2y＝0.

由解得或

所以C₁与C₂交点的极坐标分别为，.

B组　能力提升

三、解答题

9．(2014·常州模拟)已知曲线C₁的极坐标方程为ρcos＝－1，曲线C₂的极坐标方程为ρ＝2cos，判断曲线C₁与C₂的位置关系．

[解]　曲线C₁的直角坐标方程为x＋y＋2＝0，

曲线C₂化为(x－1)²＋(y－1)²＝2，则圆心C₂(1,1)，半径r＝.

又圆心C₂到直线C₁的距离d＝＝.

从而d>，所以曲线C₁与C₂相离．

8．(2013·重庆高考)在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线(t为参数)相交于A，B两点，则|AB|＝________.

[解析]　由ρcos θ＝4，知x＝4.

又∴x³＝y²(x≥0)．

由得或

∴|AB|＝＝16.

[答案]　16

7．(2014·广州六校联考)极坐标系下，直线ρcos＝与圆ρ＝2的公共点个数是________．

[解析]　将已知直线和圆的极坐标方程分别化为普通方程为x＋y＝2，x²＋y²＝4，由于圆心到直线的距离d＝＜2，故直线与圆相交，即公共点个数共有2个．

[答案]　2

二、填空题

6．(2013·合肥名校三模)在极坐标系中，点P到曲线l：ρcos＝上的点的最短距离为________．

[解析]　因为极坐标下的点P在直角坐标系下的点坐标是(0,1)，由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ可得，曲线l：ρcos＝的直角坐标方程为x－y－3＝0，因此点P到该直线的最短距离为＝2.

[答案]　2

5．(2013·安庆模拟(二))在极坐标系下，过直线ρcos θ＋ρsin θ＝2上任意一点M，作曲线ρ＝1的两条切线，则这两条切线的夹角的最大值为(　)

A.　 B.　 C.　 D.

[解析]　将极坐标方程ρcos θ＋ρsin θ＝2和ρ＝1化为直角坐标系下的方程分别是x＋y＝2和x²＋y²＝1，坐标原点为O，设这两条切线的夹角为θ，根据对称性，结合图形可知，sin ＝，当|OM|取得最小值时夹角θ最大，而OM的最小值是点O到直线的距离＝2，此时sin ＝＝，故夹角θ的最大值为，选B.

[答案]　B