1．已知x，y满足(x∈Z，y∈Z)，每一对整数(x，y)对应平面上一个点，则过这些点中的其中3个点可作不同的圆的个数为(　)

A．45　 B．36　 C．30　 D．27

[解析]　如图所示，阴影中的整点部分为x，y满足的区域，

其中整数点(x，y)共有8个，从中任取3个有C＝56种取法．

其中三点共线的有1＋C＝11.

故可作不同的圆的个数为45.

[答案]　A

10．(2013·皖南八校高三第三次联考)某中学一名数学老师对全班50名学生某次考试成绩分男女生进行了统计(满分150分)，其中120分(含120分)以上为优秀，绘制了如下的两个频率分布直方图：

男生

女生

图6

(1)根据以上两个直方图完成下面的2×2列联表：

(2)根据(1)中表格的数据计算，你有多大把握认为学生的数学成绩与性别之间有关系？

(注：

K²＝，其中n＝a＋b＋c＋d.)

(3)若从成绩在[130,140]的学生中任取2人，求取到的2人中至少有1名女生的概率．

[解]　(1)

(2)由(1)中表格的数据知，K²＝≈4.844.

∵K²≈4.844≥3.841，∴有95%的把握认为学生的数学成绩与性别之间有关系．

(3)由题知，成绩在[130,140]范围内的男生有4人、女生有2人，分别记为A₁，A₂，A₃，A₄，B₁，B₂，从中任取2人共有(A₁，A₂)，(A₁，A₃)，(A₁，A₄)，(A₁，B₁)，(A₁，B₂)，(A₂，A₃)，(A₂，A₄)，(A₂，B₁)，(A₂，B₂)，(A₃，A₄)，(A₃，B₁)，(A₃，B₂)，(A₄，B₁)，(A₄，B₂)，(B₁，B₂)15种不同结果，且事件“其中至少有1名女生”包含了9种不同结果．

∴所求事件的概率P＝＝.

B组　能力提升

三、解答题

9．假设某班级教室共有4扇窗户，在每天上午第三节课上课预备铃声响起时，每扇窗户或被敞开或被关闭，且概率均为0.5.记此时教室里敞开的窗户个数为X.

(1)求X的分布列；

(2)若此时教室里有两扇或两扇以上的窗户被关闭，班长就会将关闭的窗户全部敞开，否则维持原状不变．记每天上午第三节课上课时该教室里敞开的窗户个数为Y，求Y的数学期望．

[解]　(1)∵X的所有可能取值为0,1,2,3,4，X～B(4,0.5)，

∴P(X＝0)＝C⁴＝，P(X＝1)＝C⁴＝，

P(X＝2)＝C⁴＝，P(X＝3)＝C⁴＝，

P(X＝4)＝C⁴＝，

∴X的分布列为

(2)Y的所有可能取值为3,4，则

P(Y＝3)＝P(X＝3)＝，P(Y＝4)＝1－P(Y＝3)＝，

∴Y的期望值E(Y)＝3×＋4×＝.

8．某工厂经过技术改造后，降低了能源消耗，经统计该厂某种产品的产量x(单位：吨)与相应的生产能耗y(单位：吨)有如下几组样本数据：

根据相关性检验，这组样本数据具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得回归直线的斜率为0.7.已知该产品的年产量为10吨，则该工厂每年大约消耗的汽油为________吨．

[解析]　易知＝4.5，＝3.5，

且样本点中心(，)在回归直线＝0.7x＋b上，

从而b＝3.5－0.7×4.5＝0.35，

故回归直线方程为＝0.7x＋0.35，

∴当x＝10时，＝0.7×10＋0.35＝7.35(吨)．

[答案]　7.35

7．(2013·课标全国卷Ⅱ)从n个正整数1,2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则n＝________.

[解析]　先找出两数之和等于5的各种情况，再结合组合知识求解．

由题意知n＞4，取出的两数之和等于5的有两种情况：1,4和2,3，所以P＝＝，即n²－n－56＝0，解得n＝－7(舍去)或n＝8.

[答案]　8

二、填空题

6．某校开展“爱我家乡”摄影比赛，9位评委为参赛作品A给出的分数如图5所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x)无法看清，若记分员计算无误，则数字x应该是________．

图5

[解析]　若数字90＋x是最高分，则平均分为₁＝(88＋89＋91＋92＋92＋93＋94)≈91.3，

∴不合题意，因此最高分为94分，

此时平均分₂＝(88＋89＋91＋92＋92＋93＋90＋x)，

∴(635＋x)＝91，解得x＝2.

[答案]　2

5．(2013·安徽高考)某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是(　)

A．这种抽样方法是一种分层抽样

B．这种抽样方法是一种系统抽样

C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差

D．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数

[解析]　根据分层抽样和系统抽样定义判断A，B，求出五名男生和五名女生成绩的方差判断C.

A，不是分层抽样，因为抽样比不同．

B，不是系统抽样，因为随机询问，抽样间隔未知．

C，五名男生成绩的平均数是＝＝90，

五名女生成绩的平均数是＝＝91，

五名男生成绩的方差为s＝(16＋16＋4＋4＋0)＝8，

五名女生成绩的方差为s＝(9＋4＋4＋9＋4)＝6，

显然，五名男生成绩的方差大于五名女生成绩的方差．

D，由于五名男生和五名女生的成绩无代表性，不能确定该班男生和女生的平均成绩．

[答案]　C

4．签盒中有编号为1,2,3,4,5,6的六支签，从中任意取3支，设X为这3支签的号码之中最大的一个，则X的数学期望为(　)

A．5　 B．5.25　 C．5.8　 D．4.6

[解析]　由题意可知，X可以取3,4,5,6，

P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，

P(X＝5)＝＝，P(X＝6)＝＝.

∴E(X)＝3×＋4×＋5×＋6×＝5.25.

[答案]　B

3．如图4是统计高三年级2 000名同学某次数学考试成绩的程序框图，S代表分数，若输出的结果是560，则这次考试数学分数不低于90分的同学的概率是(　)

图4

A．0.28　 B．0.38　 C．0.72　 D．0.62

[解析]　由程序框图知，输出结果为数学分数低于90分的同学人数，

故数学分数不低于90的同学有2 000－560＝1 440(人)，

∴所求事件的概率P＝＝0.72.

[答案]　C

2．在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝3，在BC上任取一点D，使△ABD为钝角三角形的概率为(　)

A.　 B.　 C.　 D.

[解析]　在△ABC中，由余弦定理AC＝，cos∠BAC＞0.

当∠BDA为直角时，BD＝1，

又BC＝3，∴当∠BDA为钝角时的概率P＝.

[答案]　B