8.(2014·无锡质检)已知P,Q为抛物线x2=2y上两点,点P,Q的横坐标分别为4,-2,过P,Q分别作抛物线的切线,两切线交于点A,则点A的纵坐标为________.
[解析] 因为y=x2,所以y′=x,易知P(4,8),Q(-2,2),所以在P、Q两点处切线的斜率的值为4或-2.
∴切线的方程为l1:4x-y-8=0,l2:2x+y+2=0,
将这两个方程联立方程组求得y=-4.
[答案] -4
7.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=x,它的一个焦点与抛物线y2=16x的焦点相同,则双曲线的方程为________.
[解析] 由条件知双曲线的焦点为(4,0),
所以解得a=2,b=2,
故双曲线方程为-=1.
[答案] -=1
二、填空题
6.已知l1:2x+my+1=0与l2:y=3x-1,若两直线平行,则m的值为________.
[解析] 由题意知,m≠0,则直线l1的方程为:
y=-x-,
∴解得m=-.
[答案] -
5.(2013·北京高考)直线l过抛物线C:x2=4y的焦点且与y轴垂直,则l与C所围成的图形的面积等于( )
A. B.2 C. D.
[解析]
∵抛物线方程为x2=4y,∴其焦点坐标为F(0,1),故直线l的方程为y=1.如图所示,可知l与C围成的图形的面积等于矩形OABF的面积与函数y=x2的图象和x轴正半轴及直线x=2围成的图形的面积的差的2倍(图中阴影部分的2倍),即S=4-2dx=4-2·=4-=.
[答案] C
4.等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y2=16x的准线交于A,B两点,|AB|=4,则C的实轴长为( )
A. B.2 C.4 D.8
[解析] 设C:-=1.
∵抛物线y2=16x的准线为x=-4,联立-=1和x=-4得A(-4,),B(-4,-),
∴|AB|=2=4,
∴a=2,∴2a=4.
∴C的实轴长为4.
[答案] C
3.(2011·山东高考)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆C:x2+y2-6x+5=0相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
[解析] 由x2+y2-6x+5=0知圆心C(3,0),半径r=2.
又-=1的渐近线为bx±ay=0,且与圆C相切.
由直线与圆相切,得=2,
即5b2=4a2,①
因为双曲线右焦点为圆C的圆心,所以c=3,从而9=a2+b2,②
由①②联立,得a2=5,b2=4,
故所求双曲线方程为-=1,选A.
[答案] A
2.已知点M(,0),椭圆+y2=1与直线y=k(x+)交于点A、B,则△ABM的周长为( )
A.4 B.8 C.12 D.16
[解析] 因为直线过椭圆的左焦点(-,0),所以△ABM的周长为|AB|+|AM|+|BM|=4a=8,故选B.
[答案] B
一、选择题
1.若直线ax+by=1过点M(cos α,sin α),则( )
A.a2+b2≥1 B.a2+b2≤1
C.+≤1 D.+≥1
[解析] 点M(cos α,sin α)在单位圆上,由直线ax+by=1过点M得≤1⇒≥1⇒a2+b2≥1,故选A.
[答案] A
3.(2013·湖南高考)某人在如图8所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一株该种作物的年收获量Y(单位:kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示:
图8
X |
1 |
2 |
3 |
4 |
Y |
51 |
48 |
45 |
42 |
这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米.
(1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,求它们恰好“相近”的概率;
(2)从所种作物中随机选取一株,求它的年收获量的分布列与数学期望.
[解] (1)所种作物总株数N=1+2+3+4+5=15,其中三角形地块内部的作物株数为3,边界上的作物株数为12.从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有CC=36(种),选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3+3+2=8(种).
故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,它们恰好“相近”的概率为=.
(2)先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量Y的分布列.
因为P(Y=51)=P(X=1),P(Y=48)=P(X=2),
P(Y=45)=P(X=3),P(Y=42)=P(X=4),
所以只需求出P(X=k)(k=1,2,3,4)即可.
记nk为其“相近”作物恰有k株的作物株数(k=1,2,3,4),则n1=2,n2=4,n3=6,n4=3.
由P(X=k)=,得
P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)==,
P(X=4)==.
故所求Y的分布列为
Y |
51 |
48 |
45 |
42 |
P |
|
|
|
|
因此,所求年收获量Y的期望为
E(Y)=51×+48×+45×+42×=46.
2.(2013·山东高考)执行如图7的程序框图,若输入的ε的值为0.25,则输出的n的值为________.
图7
[解析] 根据运行顺序计算出的值,当≤ε时输出n的值,结束程序.
由程序框图可知:
第一次运行:F1=1+2=3,F0=3-1=2,n=1+1=2,=>ε,不满足要求,继续运行;
第二次运行:F1=2+3=5,F0=5-2=3,n=2+1=3,==0.2<ε,满足条件.
结束运行,输出n=3.
[答案] 3
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