5．如图10，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是(　)

图10

A．平面ABD⊥平面ABC　 　　　　　　 B．平面ADC⊥平面BDC

C．平面ABC⊥平面BDC　 　　　　　　 D．平面ADC⊥平面ABC

[解析]　在平面图形中CD⊥BD，折起后仍有CD⊥BD，由于平面ABD⊥平面BCD，故CD⊥平面ABD，CD⊥AB，又AB⊥AD，故AB⊥平面ADC，所以平面ABC⊥平面ADC，故选D.

[答案]　D

4．如图9所示，ABCD－A₁B₁C₁D₁是棱长为6的正方体，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF.当A₁，E，F，C₁共面时，平面A₁DE与平面C₁DF所成二面角的余弦值为(　)

图9

A.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.

C.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.

[解析]　以D为原点，DA，DC，DD₁所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，易知当E(6,3,0)，F(3,6,0)时，A₁，E，F、C₁共面，设平面A₁DE的法向量为n₁＝(a，b，c)，

依题意得

可取n₁＝(－1,2,1)，同理可得平面C₁DF的一个法向量为n₂＝(2，－1,1)，故平面A₁DE与平面C₁DF所成二面角的余弦值为＝.故选B.

[答案]　B

3．(2014·南昌模拟)正四棱锥S－ABCD的底面边长为4，高SE＝8，则过点A，B，C，D，S的球的半径为(　)

图8

A．3　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．4

C．5　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．6

[解析]　如图所示，过A，B，C，D，S的球心为O，由OE²＋EC²＝OC²，可得(8－R)²＋4²＝R²，解得R＝5，故应选C.

[答案]　C

2．已知两条互不重合的直线m，n，两个不同的平面α，β，下列命题中正确的是(　)

A．若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β

B．若m⊥α，n∥β，且m⊥n，则α⊥β

C．若m⊥α，n∥β，且m∥n，则α∥β

D．若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β

[解析]　对于选项D，m⊥α，m⊥n，则n⊂α或n∥α，即存在直线l⊂α，使得l∥n，故l⊥β，得α⊥β.故选D.

[答案]　D

一、选择题

1．(2013·马鞍山高三第二次质检)某几何体的三视图如图7所示，则它的体积是(　)

图7

A．8－2π　 B．8－　 C．8－　 D.

[解析]　由三视图可知几何体是一个棱长为2的正方体中挖空一个圆锥(底面半径为1，高为2)的剩下部分，其体积为8－.

[答案]　C

3．如图4所示，已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F₂(1,0)，点A在椭圆上．

图4

(1)求椭圆方程；

(2)点M(x₀，y₀)在圆x²＋y²＝b²上，点M在第一象限，过点M作圆x²＋y²＝b²的切线交椭圆于P、Q两点，问||＋||＋||是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，说明理由．

[解]　(1)由右焦点为F₂(1,0)，可知c＝1.设左焦点为F₁，则F₁(－1,0)，又点A在椭圆上，则

2a＝|AF₁|＋|AF₂|＝＋＝4，

∴a＝2，b＝＝，即椭圆方程为＋＝1；

(2)设P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，则＋＝1(|x₁|≤2)，

|PF₂|²＝(x₁－1)²＋y＝(x₁－1)²＋3＝(x₁－4)²，

∴|PF₂|＝(4－x₁)＝2－x₁.

连结OM，OP，由相切条件知：

|PM|²＝|OP|²－|OM|²＝x＋y－3＝x＋3－3＝x，显然x₁>0，

∴|PM|＝x₁.∴|PF₂|＋|PM|＝2－＋＝2.

同理|QF₂|＋|OM|＝2－＋＝2.

∴||＋||＋||＝2＋2＝4为定值．

2．以抛物线y²＝20x的焦点为圆心，且与双曲线－＝1的两条渐近线都相切的圆的方程为________．

[解析]　抛物线的焦点坐标为(5,0)，∴圆心坐标(5,0)．

又双曲线的渐近线方程为y＝±x，

则圆心到直线3x－4y＝0的距离为半径r，则有r＝＝3，

故圆的方程为(x－5)²＋y²＝9.

[答案]　(x－5)²＋y²＝9

1．(2013·四川高考)从椭圆＋＝1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F₁，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是(　)

A. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.　

C.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.

[解析]　由题意设P(－c，y₀)，将P(－c，y₀)代入＋＝1，得＋＝1，则y＝b²＝b²·＝.

∴y₀＝或y₀＝－(舍去)，

∴P，∴k_OP＝－.

∵A(a,0)，B(0，b)，∴k_AB＝＝－.

又∵AB∥OP，∴k_AB＝k_OP，∴－＝－，∴b＝c.

∴e＝＝＝＝.故选C.

[答案]　C

10．已知⊙O′过定点A(0，p)(p＞0)，圆心O′在抛物线C：x²＝2py(p＞0)上运动，MN为圆O′在x轴上所截得的弦．

图2

(1)当O′点运动时，|MN|是否有变化？并证明你的结论；

(2)当|OA|是|OM|与|ON|的等差中项时，试判断抛物线C的准线与圆O′的位置关系，并说明理由．

[解]　(1)设O′(x₀，y₀)，则x＝2py₀(y₀≥0)，

则⊙O′的半径|O′A|＝，

⊙O′的方程为(x－x₀)²＋(y－y₀)²＝x＋(y₀－p)²，

令y＝0，并把x＝2py₀，代入得x²－2x₀x＋x－p²＝0，

解得x₁＝x₀－p，x₂＝x₀＋p，所以|MN|＝|x₁－x₂|＝2p，

这说明|MN|不变化，其定值为2p.

(2)不妨设M(x₀－p,0)，N(x₀＋p,0)．

由题2|OA|＝|OM|＋|ON|，得2p＝|x₀－p|＋|x₀＋p|，

所以－p≤x₀≤p.

O′到抛物线准线y＝－的距离d＝y₀＋＝，

⊙O′的半径|O′A|＝

＝ ＝.

因为r＞d⇔x＋4p⁴＞(x＋p²)²⇔x＜p²，

又x≤p²＜p²(p＞0)，所以r＞d，

即⊙O′与抛物线的准线总相交．

B组　能力提升

三、解答题

9．已知曲线E上任意一点P到两个定点F₁(－，0)和F₂(，0)的距离之和为4.

(1)求曲线E的方程；

(2)设过点(0，－2)的直线l与曲线E交于C、D两点，且·＝0(O为坐标原点)，求直线l的方程．

[解]　(1)根据椭圆的定义，可知动点P的轨迹为椭圆，其中a＝2，c＝，∴b＝＝1.

∴曲线E的方程为＋y²＝1.

(2)当直线l的斜率不存在时，不满足题意，当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝kx－2，

设C(x₁，y₁)，D(x₂，y₂)，

∵·＝0，∴x₁x₂＋y₁y₂＝0，

由方程组得(1＋4k²)x²－16kx＋12＝0，

∴x₁＋x₂＝，x₁x₂＝，

又∵y₁·y₂＝(kx₁－2)(kx₂－2)＝k²x₁x₂－2k(x₁＋x₂)＋4，

∴x₁x₂＋y₁y₂＝(1＋k²)x₁x₂－2k(x₁＋x₂)＋4＝－＋4＝0，

解得k²＝4，即k＝2或k＝－2，

所以，直线l的方程是y＝2x－2或y＝－2x－2.