2．(2014·山东师大附中模拟)在等差数列{a_n}中，a₁＝－28，公差d＝4，若前n项和S_n取得最小值，则n的值为(　)

A．7　 B．8 　C．7或8　 D．8或9

[解析]　a_n＝a₁＋(n－1)d＝－28＋4(n－1)＝4n－32，由a_n≤0得4n－32≤0，即n≤8.

即a₈＝0，当n≤7时，a_n<0.所以要使S_n取得最小值，则有S₇＝S₈最小，选C.

[答案]　C

一、选择题

1．设S_n为等差数列{a_n}的前n项和，若a₁＝1，公差d＝2，S_k＋2－S_k＝24，则k等于(　)

A．8　　B．7　　C．6　　D．5

[解析]　∵S_k＋2－S_k＝a_k＋1＋a_k＋2＝a₁＋kd＋a₁＋(k＋1)d＝2a₁＋(2k＋1)d＝2×1＋(2k＋1)×2＝4k＋4＝24，∴k＝5.

[答案]　D

3．(2013·浙江高考)如图15，在四面体A—BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝2，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.

图15

　(1)证明：PQ∥平面BCD；

(2)若二面角C—BM—D的大小为60°，求∠BDC的大小．

[解]　(1)证明　如图，取BD的中点O，以O为原点，OD，OP所在射线为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系O—xyz.

由题意知A(0，，2)，B(0，－，0)，D(0，，0)．

设点C的坐标为(x₀，y_0,0)，

因为＝3，

所以Q.

因为点M为AD的中点，故M(0，，1)．

又点P为BM的中点，故P，

所以＝.

又平面BCD的一个法向量为a＝(0,0,1)，故·a＝0.

又PQ⊄平面BCD，所以PQ∥平面BCD.

(2)设m＝(x，y，z)为平面BMC的一个法向量．

由＝(－x₀，－y_0,1)，＝(0,2，1)，

知

取y＝－1，得m＝.

又平面BDM的一个法向量为n＝(1,0,0)，于是

|cos〈m，n〉|＝＝＝，

即²＝3.①

又BC⊥CD，所以·＝0，

故(－x₀，－－y_0,0)·(－x₀，－y_0,0)＝0，

即x＋y＝2.②

联立①②，解得(舍去)或

所以tan∠BDC＝＝.

又∠BDC是锐角，所以∠BDC＝60°.

2．(2014·温州模拟)如图14，正方形ABCD与正方形CDEF所成的二面角为60°，则直线EC与直线AD所成的角的余弦值为________．

图14

[解析]　设正方形边长为1，连接AE，BE，CE易知∠ADE为二面角的平面角，从而△ADE为等边三角形，所以AE＝1，BE＝CE＝，BC＝1，在△BEC中求得cos∠BCE＝，从而直线EC与AD所成角的余弦值为.

[答案]　

1．已知正方形ABCD的边长是4，对角线AC与BD交于O，将正方形ABCD沿对角线BD折成60°的二面角，并给出下面结论：①AC⊥BD；②AD⊥CO；③△AOC为正三角形；④cos∠ADC＝.则其中的真命题是(　)

A．①③④　 B．①②④　 C．②③④　 D．①②③

[解析]　如图所示，易知∠ACO为二面角A－BD－C的平面角，即∠AOC＝60°，且AO＝OC，故△AOC为正三角形，即③正确；又BD⊥平面ACO，故BD⊥AC，即①正确；在△ADC中，知AD＝DC＝4，AC＝AO＝2，故利用余弦定理可解得cos∠ADC＝，故④正确，因此选A.

[答案]　A

10．(2014·烟台模拟)如图13，平面ABCD⊥平面ADEF，其中ABCD为矩形，ADEF为梯形，AF∥DE，AF⊥FE，AF＝AD＝2DE＝2，M为AD的中点．

图13

　(1)证明：MF⊥BD；

(2)若二面角A－BF－D的平面角的余弦值为，求AB的长．

[解]　(1)证明　由已知得△ADF为正三角形，所以MF⊥AD，

因为平面ABCD⊥平面ADEF，平面ABCD∩平面ADEF＝AD，

MF⊂平面ADEF，所以MF⊥BD.

(2)设AB＝x，以F为原点，AF，FE所在直线分别为x轴，y轴建立如图所示的空间直角坐标系，则F(0,0,0)，A(－2,0,0)，D(－1，，0)，B(－2,0，x)，所以＝(1，－，0)，＝(2,0，－x)．

因为EF⊥平面ABF，所以平面ABF的法向量可取n₁＝(0,1,0)．

设n₂＝(x₁，y₁，z₁)为平面BFD的法向量，则

可取n₂＝.

因为cos〈n₁，n₂〉＝＝，

得x＝，所以AB＝.

B组　能力提升

三、解答题

9．如图，圆锥顶点为P，底面圆心为O，其母线与底面所成的角为22.5°，AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦，轴OP与平面PCD所成的角为60°.

图12

　(1)证明：平面PAB与平面PCD的交线平行于底面；

(2)求cos∠COD.

[解]　(1)证明　设平面PAB与平面PCD的交线为l.

因为AB∥CD，AB不在平面PCD内，所以AB∥平面PCD.

又因为AB⊂平面PAB，平面PAB与平面PCD的交线为l，所以AB∥l.

由直线AB在底面上而l在底面外可知，l与底面平行．

(2)设CD的中点为F，连接OF，PF.

由圆的性质，知∠COD＝2∠COF，OF⊥CD.

因为OP⊥底面，CD⊂底面，所以OP⊥CD.

又OP∩OF＝O，故CD⊥平面OPF.

又CD⊂平面PCD，因此平面OPF⊥平面PCD，从而直线OP在平面PCD上的射影为直线PF，故∠OPF为OP与平面PCD所成的角．由题设，∠OPF＝60°.

设OP＝h，则OF＝OP·tan∠OPF＝h·tan 60°＝h.

根据题设有∠OCP＝22.5°，得

OC＝＝.

由1＝tan 45°＝和tan 22.5°＞0，

可解得tan 22.5°＝－1，

因此OC＝＝(＋1)h.

在Rt△OCF中，cos∠COF＝＝＝－，

故cos∠COD＝cos(2∠COF)＝2cos²∠COF－1＝2(－)²－1＝17－12.

8．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列命题：

①若α∥β，m⊂β，n⊂α，则m∥n；

②若α∥β，m⊥β，n∥α，则m⊥n；

③若α⊥β，m⊥α，n∥β，则m∥n；

④若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n.

上面命题中，所有真命题的序号为________．

[解析]　对于①，m，n可能是异面直线，故①错；对于③，两条直线m和n也可以相交或异面，故③错；②，④正确．

[答案]　②④

7．(2014·长沙模拟)如图11，在三棱锥D－ABC中，若AB＝BC，AD＝CD，E是AC的中点，则平面ADC与平面BDE的关系是________．

图11

[解析]　由AD＝CD知DE⊥AC，由AB＝BC知，BE⊥AC，则AC⊥平面BDE，故平面ADC⊥平面BDE.

[答案]　垂直

二、填空题

6．(2013·湖北高考)我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是________寸．(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸)

[解析]　圆台的轴截面是下底长为12寸，上底长为28寸，高为18寸的等腰梯形，雨水线恰为中位线，故雨水线直径是20寸，

∴降水量为＝3(寸)．

[答案]　3