三、解答题

9．设函数f(x)＝x²＋2x＋kln x，其中k≠0.

(1)当k>0时，判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性；

(2)讨论f(x)的极值点．

[解]　f′(x)＝x＋2＋.

(1)当k>0时，f′(x)＝x＋2＋>0在(0，＋∞)恒成立，

所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．

(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，

令f′(x)＝＝0，

得(x＋1)²＝1－k>(0＋1)²＝1，

所以当k>0时，f′(x)＝0在(0，＋∞)没有根，f(x)没有极值点；

当k<0时，f′(x)＝0在(0，＋∞)有唯一根x₀＝－1，

因为在(0，x₀)上f′(x)<0，在(x₀，＋∞)上f′(x)>0，

所以x₀是f(x)唯一的极小值点．

8．把一个周长为12 cm的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的底面周长与高的比是________．

[解析]　设圆柱的高为h，则圆柱的底面周长为6－h，从而0<h<6，

设圆柱的底面半径为r，则由2πr＝6－h得r＝，

则圆柱的体积V＝(h³－12h²＋36h)，

则V′＝(3h²－24h＋36)，

令V′＝0得h＝2或h＝6(舍)．

当h∈(0,2)时，V′>0，当h∈(2,6)时，V′<0，

所以h＝2时，V有最大值．

此时(6－h)∶h＝2∶1.

[答案]　2∶1

7．设f(x)＝若f(f(1))＝1，则a＝________.

[解析]　f(1)＝lg 1＝0，3t²dt＝t³＝a³，

则f(f(1))＝f(0)＝a³＝1，∴a＝1.

[答案]　1

二、填空题

6．(2013·合肥高三第二次质检)函数y＝在x＝1处的切线方程是________．

[解析]　当x＝1时，y＝，y′_x＝1＝－，

所以函数在x＝1处的切线方程为y＝－(x－1)＋＝－x＋1.

[答案]　y＝－x＋1

5．(2014·北京东城模拟)已知二次函数f(x)的图象如图所示，则其导函数f′(x)的图象大致形状是(　)

图1

[解析]　设二次函数为f(x)＝ax²＋bx＋c，由图象可知，a<0，对称轴x＝－＝0，所以b＝0，f′(x)＝2ax，故选B.

[答案]　B

4．点P是曲线x²－y－2ln＝0上任意一点，则点P到直线4x＋4y＋1＝0的最短距离是(　)

A.(1－ln 2)　 　　　　　　　 B.(1＋ln 2)

C.　 　　　　　　　 D.(1＋ln 2)

[解析]　将直线4x＋4y＋1＝0平移后得直线l：4x＋4y＋b＝0，使直线l与曲线切于点P(x₀，y₀)，

由x²－y－2ln ＝0得y′＝2x－，

∴直线l的斜率k＝2x₀－＝－1

⇒x₀＝或x₀＝－1(舍去)，

∴P，

所求的最短距离即为点P

到直线4x＋4y＋1＝0的距离d＝

＝(1＋ln 2)．故选B.

[答案]　B

3．三次函数f(x)＝mx³－x在(－∞，＋∞)上是减函数，则m的取值范围是(　)

A．m<0 　　 　　　　　　　　　　 B．m<1

C．m≤0 　 　　　　　　　　　　 D．m≤1

[解析]　f′(x)＝3mx²－1，由题意知，3mx²－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立，

则有解得m<0，故选A.

[答案]　A

2．(2014·蚌埠模拟)设f(x)，g(x)在[a，b]上可导，且f′(x)>g′(x)，则当a<x<b时，有(　)

A．f(x)>g(x)

B．f(x)<g(x)

C．f(x)＋g(a)>g(x)＋f(a)

D．f(x)＋g(b)>g(x)＋f(b)

[解析]　设F(x)＝f(x)－g(x)，则F′(x)＝f′(x)－g′(x)>0，即F(x)在[a，b]上是增函数，

从而当a<x<b时，f(x)－g(x)>f(a)－g(a)，

即f(x)＋g(a)>g(x)＋f(a)，故选C.

[答案]　C

一、选择题

1．(2014·合肥高三质量检测)与直线2x－6y＋1＝0垂直，且与曲线f(x)＝x³＋3x²－1相切的直线方程是(　)

A．3x＋y＋2＝0　　　　　　 B．3x－y＋2＝0

C．x＋3y＋2＝0 　　 　　　　　　　　　　 D．x－3y－2＝0

[解析]　设切点坐标为(x₀，y₀)，由f′(x)＝3x²＋6x得

f′(x₀)＝3x＋6x₀＝－3，解得x₀＝－1，

即切点坐标为(－1,1)．

从而切线方程为y－1＝－3(x＋1)，即3x＋y＋2＝0，故选A.

[答案]　A

3．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₁＝，a_n＝－2S_n·S_n－1(n≥2)．

(1)求数列{a_n}的通项公式a_n；

(2)求证：S＋S＋…＋S≤－.

[解]　(1)∵a_n＝－2S_n·S_n－1(n≥2)，

∴S_n－S_n－1＝－2S_n·S_n－1.

两边同除以S_n·S_n－1，得－＝2(n≥2)，

∴数列是以＝＝2为首项，以d＝2为公差的等差数列，

∴＝＋(n－1)·d＝2＋2(n－1)＝2n，

∴S_n＝.

将S_n＝代入a_n＝－2S_n·S_n－1，

得a_n＝

(2)证明　∵S＝<

＝(n≥2)，

S＝，

∴当n≥2时，S＋S＋…＋S

＝＋＋…＋

<＋＋…＋

＝－；

当n＝1时，S＝＝－.

综上，S＋S＋…＋S≤－.