19．

[解析]　(1)∵∠CAB＝45°，∴∠COB＝90°，

又∵F为的中点，∴∠FOB＝45°，

∴OF∥AC，又AC⊂平面ACD，

从而OF∥平面ACD.

(2)存在，E为AD中点，

∵OA＝OD，∴OE⊥AD，

又OC⊥AB且两半圆所在平面互相垂直，

∴OC⊥平面OAD，

又AD⊂平面OAD，∴AD⊥OC，

由⇒AD⊥平面OCE，

又AD⊂平面ACD，∴平面OCE⊥平面ACD.

三、17．

[解析]　(1)在Rt△BAC中，

BC＝＝＝2，

在Rt△A₁AC中，

A₁C＝＝＝2.

∴BC＝A₁C，

即△A₁CB为等腰三角形．

又点M为A₁B的中点，∴A₁M⊥MC.

又∵四边形AA₁B₁B为正方形，M为A₁B的中点，

∴A₁M⊥MA，又AC∩MA＝A，AC⊂平面MAC，MA⊂平面MAC，

∴A₁M⊥平面MAC.

(2)由(1)的证明可得：

三棱锥A－CMA₁的体积VA－CMA₁＝VC－AMA₁＝×S△AMA₁×CA＝××2×1×2＝.

(3)取A₁B₁的中点P，连MP，NP，

而M、P分别为AB₁与A₁B₁的中点，

∴MP∥AA₁，MP⊄平面A₁ACC₁，AA₁⊂平面A₁ACC₁，

∴MP∥平面A₁ACC₁，同理可证NP∥平面A₁ACC₁，

又MP∩NP＝P，

∴平面MNP∥平面A₁ACC₁.

∵MN⊂平面MNP，∴MN∥平面A₁ACC₁.

18．

[解析]　(1)在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，所以AA₁⊥BC，

在等边△ABC中，D是BC中点，所以AD⊥BC，

因为在平面A₁AD中，A₁A∩AD＝A，

所以BC⊥平面A₁AD，

又因为A₁D⊂平面A₁AD，所以A₁D⊥BC，

在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，四边形BCC₁B₁是平行四边形，所以B₁C₁∥BC，

所以，A₁D⊥B₁C₁.

(2)在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，四边形ACC₁A₁是平行四边形，在平行四边形ACC₁A₁中连接A₁C，交AC₁于点O，连接DO.

故O为A₁C的中点．

在三角形A₁CB中，D为BC中点，O为A₁C中点，故DO∥A₁B.

因为DO⊂平面ADC₁，A₁B⊄平面ADC₁，

所以，A₁B∥平面ADC₁，

故A₁B与平面ADC₁平行．

16．①②③④

[解析]　由题意知AC⊥平面SBC，故AC⊥SB，SB⊥平面ABC，平面SBC⊥平面SAC，①②③正确；取AB的中点E，连接CE，可证得CE⊥平面SAB，故CE的长度即为C到平面SAB的距离，④正确．

15．　πR³

[解析]　设圆柱的底面半径为r，高为h，则r²＋h²＝R²，体积设为V，则V＝πr²·h＝π(R²－h²)·h＝πR²h－πh³，∴V′＝πR²－3πh².令V′＝0得h＝，易知此时V取得最大值，最大值为πR³.

二、13．①③

[解析]　由条件可得AB⊥平面PAD，∴AB⊥PD，故①正确；

若平面PBC⊥平面ABCD，由PB⊥BC，得PB⊥平面ABCD，从而PA∥PB，这是不可能的，故②错；

S_△PCD＝CD·PD，S_△PAB＝AB·PA，由AB＝CD，PD>PA知③正确；

由E、F分别是棱PC、PD的中点，可得EF∥CD，又AB∥CD，∴EF∥AB，故AE与BF共面，④错，故填①③.

14.　①②④⑤

[解析]　由题意可得如图所示的几何体，对于①，AB与DE所成角为∠ABC，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝a，BC＝a，所以tan∠ABC＝，故①正确；

对于②，V_B－ACE＝V_A－ECB＝×a××a×a＝a³，故②正确；③明显错误；

对于④，因为AD⊥平面BCDE，所以AD⊥BE，又因为DE⊥BE，所以BE⊥平面ADE，可得平面EAB⊥平面ADE，故④正确；对于⑤，由④可知，∠BAE即为直线BA与平面ADE所成的角，在△ABE中，∠AEB＝90°，AB＝a，BE＝a，所以sin∠BAE＝，故⑤正确．

12．　C

[解析]　若α、β换成直线a、b，则命题化为“a∥b，且a⊥γ⇒b⊥γ”，此命题为真命题；若α、γ换为直线a、b，则命题化为“a∥β，且a⊥b⇒b⊥β”，此命题为假命题；若β、γ换为直线a、b，则命题化为“a∥α，且b⊥α⇒a⊥b”，此命题为真命题，故选C.

11．　D

[解析]　因为EF＝2，点Q到AB的距离为定值，所以△QEF的面积为定值，设为S，又因为D₁C₁∥AB，所以D₁C₁∥平面QEF；点P到平面QEF的距离也为定值，设为d，从而四面体P－QEF的体积为定值Sd.

10．　C

[解析]　若a与b相交，则存在平面β，使得a⊂β且b⊂β，由a⊥c，b⊥c，知c⊥β，同理d⊥β，所以c∥d.若a∥b，则c与d可能平行，也可能不平行．结合各选项知选C.

.

9．　D

[解析]　解法1：平移直线m使之与n相交于O，这两条直线确定的平面为γ，∵m⊥平面α，n⊥平面β，则平面α与平面β相交．

设交线为a，则a⊥γ，又l⊥m，l⊥n，则l⊥γ，∴l∥a.

解法2：若α∥β，∵m⊥α，n⊥β，∴m∥n，这与m、n异面矛盾，故α与β相交，设α∩β＝a，则a⊥m，a⊥n，在m上取点O，过O作n′∥n，设m与n′确定的平面为γ，∵a⊥m，a⊥n′，∴a⊥γ，∵l⊥n，∴l⊥n′，

又l⊥m，∴l⊥γ，∴a∥l.

8．D

[解析]　∵D、F分别为AB、AC的中点，∴BC∥DF，

∵BC⊄平面PDF，∴BC∥平面PDF，故A正确；在正四面体中，∵E为BC中点，易知BC⊥PE，BC⊥AE，∴BC⊥平面PAE，∵DF∥BC，∴DF⊥平面PAE，故B正确；∵DF⊥平面PAE，DF⊂平面PDF，∴平面PDF⊥平面PAE，∴C正确，故选D.