=[(yn+xn)－]2+ ． 由(Ⅱ)知 0<yn+xn<1．∴－ < yn+xn－ < ， ∴ < ()2+ =
其中
。证明：
；（III）证明：
。
解: （I）∵f '(x)=3x2－2x+ = 3(x－)2+ >0 ， ∴f(x)是R上的单调增函数．
（II）∵0<x0< ， 即x1<x0<y1．又f(x)是增函数， ∴f(x1)<f(x0)<f(y1)．即x2<x0<y2．
又x2=f(x1)=f(0)=>0 =x1， y2=f(y1)=f()=<=y1，综上， x1<x2<x0<y2<y1．
用数学归纳法证明如下:
(1)当n=1时，上面已证明成立．
(2)假设当n=k(k≥1)时有xk<xk+1<x0<yk+1<yk ．
当n=k+1时，由f(x)是单调增函数，有f(xk)<f(xk+1)<f(x0)<f(yk+1)<f(yk)，∴xk+1<xk+2<x0<yk+2<yk+1
由(1)(2)知对一切n=1，2，…，都有xn<xn+1<x0<yn+1<yn．
（III） = = yn2+xnyn+xn2－(yn+xn)+ ≤(yn+xn)2－(yn+xn)+
（I）证明：
是
上的单调增函数；（II）设
，
3、（06陕西22）已知函数
，且存在
，使
。
下同解法1．
故当
时，不存在满足该等式的正整数
．
，与②式矛盾．
又由（Ⅱ）可得
即有
． ②
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