0  13779  13787  13793  13797  13803  13805  13809  13815  13817  13823  13829  13833  13835  13839  13845  13847  13853  13857  13859  13863  13865  13869  13871  13873  13874  13875  13877  13878  13879  13881  13883  13887  13889  13893  13895  13899  13905  13907  13913  13917  13919  13923  13929  13935  13937  13943  13947  13949  13955  13959  13965  13973  447090 

所以a>1.

由恒成立,又存在正零点,故△=(-2lna)2-4lna=0,

所以lna=1,即a=e. ……………………………………………………………………7分

(Ⅱ)由(Ⅰ),,于是,.…………………………9分

以下证明.      (※)

(※)等价于. ……………………………………………11分

令r(x)=xlnx2-xlnx-x2+x,…………………………………………………………13分

r ′(x)=lnx2-lnx,在(0,x2]上,r′(x)>0,所以r(x)在(0,x2]上为增函数.

当x1<x2时,r(x1)< r(x2)=0,即,

从而得到证明.……………………………………………………………………15分

对于同理可证……………………………………………………………16分

所以.

评讲建议:

此题主要考查函数、导数、对数函数、二次函数等知识.评讲时注意着重导数在研究函数中的应用.本题的第一小题是常规题比较容易,第二小题是以数学分析中的中值定理为背景,作辅助函数,利用导数来研究函数的性质,是近几年高考的热点.第二小题还可以这样证明:

要证明,只要证明>1,令,作函数h(x)=t-1-lnt,下略.

 

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19.(本小题满分16分)

已知函数(a>0,且a≠1),其中为常数.如果 是增函数,且存在零点(为的导函数).

(Ⅰ)求a的值;

(Ⅱ)设A(x1,y1)、B(x2,y2)(x1<x2)是函数y=g(x)的图象上两点,( 为的导函数),证明:.

解:(Ⅰ)因为,

所以. …………………………………………3分

因为h(x)在区间上是增函数,

所以在区间上恒成立.

若0<a<1,则lna<0,于是恒成立.

又存在正零点,故△=(-2lna)2-4lna=0,lna=0,或lna=1与lna<0矛盾.

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如果直线AB与⊙P相切,则?=-1. ………………………………………12分

解出c=0或2,与0<c<1矛盾,………………………………………………………14分

所以直线AB与⊙P不能相切. …………………………………………………………15分

评讲建议:

此题主要考查直线与直线、直线与圆以及椭圆的相关知识,要求学生理解三角形外接圆圆心是三边中垂线的交点,从而大胆求出交点坐标,构造关于椭圆中a,b,c的齐次等式得离心率的范围.第二小题亦可以用平几的知识:圆的切割线定理,假设直线AB与⊙P相切,则有AB2=AF×AC,易由椭圆中a,b,c的关系推出矛盾.

 

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18.(本小题满分15分)

已知椭圆的左焦点为F,左、右顶点分别为A、C,上顶点为B.过F、B、

C作⊙P,其中圆心P的坐标为(m,n).

(Ⅰ)当m+n>0时,求椭圆离心率的范围;

(Ⅱ)直线AB与⊙P能否相切?证明你的结论.

解:(Ⅰ)设F、B、C的坐标分别为(-c,0),(0,b),(1,0),则FC、BC的中垂线分别为

,.………………………………………………………………2分

联立方程组,解出……………………………………………………………4分

,即,即(1+b)(b-c)>0,

∴ b>c. ……………………………………………………………………………………6分

从而即有,∴.……………………………………………………7分

又,∴. …………………………………………………………………8分

(Ⅱ)直线AB与⊙P不能相切.…………………………………………………………………9分

由,=. ………………………………………………10分

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17.(本小题满分15分)

口袋中有质地、大小完全相同的5个球,编号分别为1,2,3,4,5,甲、乙两人玩一种游戏:

甲先摸出一个球,记下编号,放回后乙再摸一个球,记下编号,如果两个编号的和为偶数算甲赢,

否则算乙赢.

(Ⅰ)求甲赢且编号的和为6的事件发生的概率;

(Ⅱ)这种游戏规则公平吗?试说明理由.

解:(I)设“甲胜且两数字之和为6”为事件A,事件A包含的基本事件为

(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),共5个.……………………2分

又甲、乙二人取出的数字共有5×5=25(个)等可能的结果, ……………………4分

所以. ………………………………………………………………………6分

答:编号的和为6的概率为.…………………………………………………………………7分

     (Ⅱ)这种游戏规则不公平.……………………………………………………………………9分

设“甲胜”为事件B,“乙胜”为事件C, ……………………………………………10分

则甲胜即两数字之和为偶数所包含的基本事件数为13个:

(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(3,5),

(4,2) ,(4,4),(5,1) ,(5,3),(5,5).

所以甲胜的概率P(B)=,从而乙胜的概率P(C)=1-=.…………14分

由于P(B)≠P(C),所以这种游戏规则不公平. ………………………………15分

评讲建议:

    本题主要考查古典概率的计算及其相关知识,要求学生列举全面,书写规范.尤其注意此类问题的答题格式:设事件、说明概型、计算各基本事件种数、求值、作答.

引申:连续玩此游戏三次,若以D表示甲至少赢一次的事件,E表示乙至少赢两次的事件,试问D与E是否为互斥事件?为什么?(D与E不是互斥事件.因为事件D与E可以同时发生,如甲赢一次,乙赢两次的事件即符合题意;亦可分别求P(D)、P(E),由P(D)+ P(E)>1可得两者一互斥.)

 

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16.(本小题满分14分)

直棱柱中,底面ABCD是直角梯形,

∠BAD=∠ADC=90°,.

(Ⅰ)求证:AC⊥平面BB1C1C;

(Ⅱ)在A1B1上是否存一点P,使得DP与平面BCB1

平面ACB1都平行?证明你的结论.

证明:(Ⅰ) 直棱柱中,BB1⊥平面ABCD,BB1⊥AC. ………………2分

又∠BAD=∠ADC=90°,,

∴,∠CAB=45°,∴, BC⊥AC.………………………………5分

又,平面BB1C1C, AC⊥平面BB1C1C.  ………………7分

(Ⅱ)存在点P,P为A1B1的中点. ……………………………………………………………8分

证明:由P为A1B1的中点,有PB1‖AB,且PB1=AB.……………………………………9分

又∵DC‖AB,DC=AB,DC ∥PB1,且DC= PB1

∴DC PB1为平行四边形,从而CB1∥DP.……………………………………………11分

又CB1面ACB1,DP 面ACB1,DP‖面ACB1.………………………………13分

同理,DP‖面BCB1.……………………………………………………………………14分

评讲建议:

本题主要考查线面平行、垂直的的判定和证明等相关知识,第一小题要引导学生挖掘直角梯形ABCD中BC⊥AC,第二小题,要求学生熟练掌握一个常用结论:若一直线与两相交平面相交,则这条直线一定与这两平面的交线平行;同时注意问题的逻辑要求和答题的规范性,这里只需要指出结论并验证其充分性即可,当然亦可以先探求结论,再证明之,这事实上证明了结论是充分且必要的.

变题:

求证:(1)A1B⊥B1D;(2)试在棱AB上确定一点E,使A1E∥平面ACD1,并说明理由.

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15.(本小题满分14分)

在△ABC中,角A,B,C所对边分别为a,b,c,且.

  (Ⅰ)求角A;

(Ⅱ)若m,n,试求|mn|的最小值.

解:(Ⅰ),……………………………………………3分

即,

∴,∴. ………………………………………………5分

∵,∴.………………………………………………………………7分

(Ⅱ)mn ,

|mn|.…………10分

∵,∴,∴.

从而.……………………………………………………………12分

∴当=1,即时,|mn|取得最小值.……………………13分

所以,|mn|.………………………………………………………………14分

评讲建议:

    本题主要考查解三角形和向量的运算等相关知识,要求学生涉及三角形中三角恒等变换时,要从化角或化边的角度入手,合理运用正弦定理或余弦定理进行化简变形;在第二小题中,要强调多元问题的消元意识,进而转化为函数的最值问题,注意定义域的确定对结论的影响,并指明取最值时变量的取值.

 

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10.<    11.    12.     13.    14.

 

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1.   2.2   3.0.03  4.  5.④   6.   7.-8   8.3   9.-1

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14.已知△ABC三边a,b,c的长都是整数,且,如果b=m(mN*),则这样的三角形共有   ▲  个(用m表示).

说明:本题是推理和证明这一章的习题,考查合情推理能力.讲评时可改为c=m再探究.本题也可以用线性规划知识求解.

填空题答案:

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同步练习册答案