所以a>1.
由恒成立,又存在正零点,故△=(-2lna)2-4lna=0,
所以lna=1,即a=e. ……………………………………………………………………7分
(Ⅱ)由(Ⅰ),,于是,.…………………………9分
以下证明. (※)
(※)等价于. ……………………………………………11分
令r(x)=xlnx2-xlnx-x2+x,…………………………………………………………13分
r ′(x)=lnx2-lnx,在(0,x2]上,r′(x)>0,所以r(x)在(0,x2]上为增函数.
当x1<x2时,r(x1)< r(x2)=0,即,
从而得到证明.……………………………………………………………………15分
对于同理可证……………………………………………………………16分
所以.
评讲建议:
此题主要考查函数、导数、对数函数、二次函数等知识.评讲时注意着重导数在研究函数中的应用.本题的第一小题是常规题比较容易,第二小题是以数学分析中的中值定理为背景,作辅助函数,利用导数来研究函数的性质,是近几年高考的热点.第二小题还可以这样证明:
要证明,只要证明>1,令,作函数h(x)=t-1-lnt,下略.
19.(本小题满分16分)
已知函数(a>0,且a≠1),其中为常数.如果 是增函数,且存在零点(为的导函数).
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)设A(x1,y1)、B(x2,y2)(x1<x2)是函数y=g(x)的图象上两点,( 为的导函数),证明:.
解:(Ⅰ)因为,
所以. …………………………………………3分
因为h(x)在区间上是增函数,
所以在区间上恒成立.
若0<a<1,则lna<0,于是恒成立.
又存在正零点,故△=(-2lna)2-4lna=0,lna=0,或lna=1与lna<0矛盾.
如果直线AB与⊙P相切,则?=-1. ………………………………………12分
解出c=0或2,与0<c<1矛盾,………………………………………………………14分
所以直线AB与⊙P不能相切. …………………………………………………………15分
评讲建议:
此题主要考查直线与直线、直线与圆以及椭圆的相关知识,要求学生理解三角形外接圆圆心是三边中垂线的交点,从而大胆求出交点坐标,构造关于椭圆中a,b,c的齐次等式得离心率的范围.第二小题亦可以用平几的知识:圆的切割线定理,假设直线AB与⊙P相切,则有AB2=AF×AC,易由椭圆中a,b,c的关系推出矛盾.
18.(本小题满分15分)
已知椭圆的左焦点为F,左、右顶点分别为A、C,上顶点为B.过F、B、
C作⊙P,其中圆心P的坐标为(m,n).
(Ⅰ)当m+n>0时,求椭圆离心率的范围;
(Ⅱ)直线AB与⊙P能否相切?证明你的结论.
解:(Ⅰ)设F、B、C的坐标分别为(-c,0),(0,b),(1,0),则FC、BC的中垂线分别为
,.………………………………………………………………2分
联立方程组,解出……………………………………………………………4分
,即,即(1+b)(b-c)>0,
∴ b>c. ……………………………………………………………………………………6分
从而即有,∴.……………………………………………………7分
又,∴. …………………………………………………………………8分
(Ⅱ)直线AB与⊙P不能相切.…………………………………………………………………9分
由,=. ………………………………………………10分
17.(本小题满分15分)
口袋中有质地、大小完全相同的5个球,编号分别为1,2,3,4,5,甲、乙两人玩一种游戏:
甲先摸出一个球,记下编号,放回后乙再摸一个球,记下编号,如果两个编号的和为偶数算甲赢,
否则算乙赢.
(Ⅰ)求甲赢且编号的和为6的事件发生的概率;
(Ⅱ)这种游戏规则公平吗?试说明理由.
解:(I)设“甲胜且两数字之和为6”为事件A,事件A包含的基本事件为
(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),共5个.……………………2分
又甲、乙二人取出的数字共有5×5=25(个)等可能的结果, ……………………4分
所以. ………………………………………………………………………6分
答:编号的和为6的概率为.…………………………………………………………………7分
(Ⅱ)这种游戏规则不公平.……………………………………………………………………9分
设“甲胜”为事件B,“乙胜”为事件C, ……………………………………………10分
则甲胜即两数字之和为偶数所包含的基本事件数为13个:
(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(3,5),
(4,2) ,(4,4),(5,1) ,(5,3),(5,5).
所以甲胜的概率P(B)=,从而乙胜的概率P(C)=1-=.…………14分
由于P(B)≠P(C),所以这种游戏规则不公平. ………………………………15分
评讲建议:
本题主要考查古典概率的计算及其相关知识,要求学生列举全面,书写规范.尤其注意此类问题的答题格式:设事件、说明概型、计算各基本事件种数、求值、作答.
引申:连续玩此游戏三次,若以D表示甲至少赢一次的事件,E表示乙至少赢两次的事件,试问D与E是否为互斥事件?为什么?(D与E不是互斥事件.因为事件D与E可以同时发生,如甲赢一次,乙赢两次的事件即符合题意;亦可分别求P(D)、P(E),由P(D)+ P(E)>1可得两者一互斥.)
16.(本小题满分14分)
直棱柱中,底面ABCD是直角梯形,
∠BAD=∠ADC=90°,.
(Ⅰ)求证:AC⊥平面BB1C1C;
(Ⅱ)在A1B1上是否存一点P,使得DP与平面BCB1与
平面ACB1都平行?证明你的结论.
证明:(Ⅰ) 直棱柱中,BB1⊥平面ABCD,BB1⊥AC. ………………2分
又∠BAD=∠ADC=90°,,
∴,∠CAB=45°,∴, BC⊥AC.………………………………5分
又,平面BB1C1C, AC⊥平面BB1C1C. ………………7分
(Ⅱ)存在点P,P为A1B1的中点. ……………………………………………………………8分
证明:由P为A1B1的中点,有PB1‖AB,且PB1=AB.……………………………………9分
又∵DC‖AB,DC=AB,DC ∥PB1,且DC= PB1,
∴DC PB1为平行四边形,从而CB1∥DP.……………………………………………11分
又CB1面ACB1,DP 面ACB1,DP‖面ACB1.………………………………13分
同理,DP‖面BCB1.……………………………………………………………………14分
评讲建议:
本题主要考查线面平行、垂直的的判定和证明等相关知识,第一小题要引导学生挖掘直角梯形ABCD中BC⊥AC,第二小题,要求学生熟练掌握一个常用结论:若一直线与两相交平面相交,则这条直线一定与这两平面的交线平行;同时注意问题的逻辑要求和答题的规范性,这里只需要指出结论并验证其充分性即可,当然亦可以先探求结论,再证明之,这事实上证明了结论是充分且必要的.
变题:
求证:(1)A1B⊥B1D;(2)试在棱AB上确定一点E,使A1E∥平面ACD1,并说明理由.
15.(本小题满分14分)
在△ABC中,角A,B,C所对边分别为a,b,c,且.
(Ⅰ)求角A;
(Ⅱ)若m,n,试求|mn|的最小值.
解:(Ⅰ),……………………………………………3分
即,
∴,∴. ………………………………………………5分
∵,∴.………………………………………………………………7分
(Ⅱ)mn ,
|mn|.…………10分
∵,∴,∴.
从而.……………………………………………………………12分
∴当=1,即时,|mn|取得最小值.……………………13分
所以,|mn|.………………………………………………………………14分
评讲建议:
10.< 11. 12. 13. 14.
1. 2.2 3.0.03 4. 5.④ 6. 7.-8 8.3 9.-1
14.已知△ABC三边a,b,c的长都是整数,且,如果b=m(mN*),则这样的三角形共有 ▲ 个(用m表示).
说明:本题是推理和证明这一章的习题,考查合情推理能力.讲评时可改为c=m再探究.本题也可以用线性规划知识求解.
填空题答案:
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com