[错因分析] 出错较多的是解答不够严谨, 例如计算出“当0<a<2时, 导数恒正”后, 就说“f (x) 在R上为增函数”或“f (x) 在定义域为增函数”, 前者错在没有考虑定义域, 后者错在没有掌握好单调性判定定理, 忽视了本题里函数的定义域不是区间. 这些是实质性的错误. 还有类似的错误, 如写“f (x) 在(-∞, 1)∪(1, +∞)为增函数”, 这也可能仅仅是数学式写错了, 不该用“∪”. 数学式写错的还有“f (x) 在为增函数”, 这里不应该用中括号 “]”.

另一类错误是第(Ⅰ)问中不讨论参数的值, 第(Ⅱ)问中只讨论a>0情形.

第(Ⅱ)问中还有逻辑错误. 例如“因为f (0)=1, 故只要f (x) 在区间 (0, 1)为增函数”, 这样也能得出正确结果, 但是推理过程是有错的, 错误原因在于“f (0)=1, 且f (x) 在区间 (0, 1)为增函数”这个命题是“对任意 x∈(0,1) 恒有 f (x) >1”的充分条件而难以证明是必要条件.

[复习提示] 近年总有含参数的函数(或数列)的考题, 一般都可用常规方法求解. 首先概念要清楚, 含参数的函数不是一个函数, 参数的值不同, 就是不同的函数. 其次, 应该对参数分类, 即按照参数的不同变化范围分成若干情形, 再分别讨论.

文(22) (本小题满分14分)

综上可知, 所求 a的取值范围为 a≤2.

 ≥, 这时a满足要求.

(?) 当a>2时, 由(Ⅰ) 知f (x) 在区间 (-,)为减函数, 故在区间(0, ) 内任取一点, 比如取, 就有 x₀∈(0, 1) 且 f (x₀) < f (0) =1, 因而这时a不满足要求.

(?) 当a≤0时, 对于任意x∈(0, 1) 恒有

f (x) 在区间 (-,)为减函数.

(Ⅱ) 参数a的变化范围和(Ⅰ) 不同, 但由(Ⅰ) 知仍分三种情形讨论.

(?) 当0< a≤2时, 由(Ⅰ) 知f (x) 在区间 (-∞, 1) 为增函数, 故对于任意x∈(0, 1) 恒有 f (x) > f (0) =1, 因而这时a满足要求. 

f (x) 在区间 (-∞, -),  (, 1),  (1, +∞) 为增函数,

ㄊ

ㄋ

ㄊ

ㄊ

+

-

+

+

(, 1)

 (1, +∞) 

(-,)