∴函数f′(x)=3x²+2mx+(m+6)的图象与x轴相交,即4m²-4×3×(m+6)>0.

7.★已知函数f(x)=x³+mx²+(m+6)x+1既存在极大值又存在极小值,则实数m的取值范围是(  )

A.(-1,2)             B.(-∞,-3)∪(6,+∞)

C.(-3,6)             D.(-∞,-1)∪(2,+∞)

分析 本题考查导数与极值的关系.

解 f′(x)=3x²+2mx+(m+6).

∵函数f(x)既存在极大值又存在极小值,

f_n+4(x)=f(x),可知该函数的周期为4.

∴f₂₀₀₆(x)=f₂(x)=-cosx.

答案 D

6.★设f₀(x)=cosx,f₁(x)=f₀′(x),f₂(x)=f₁′(x),…,f_n+1(x)=fn′(x),n∈N,则f₂₀₀₆(x)等于(    )

A.sinx         B.cosx         C.-sinx         D.-cosx

分析 本题考查导数的运算及函数的周期性.

解 f₁(x)=(cosx)′=-sinx,

f₂(x)=(-sinx)′=-cosx,

f₃(x)=(-cosx)′=sinx,

f₄(x)=(sinx)′=cosx,

f₄(x)=f₀(x),f₅(x)=f₁(x),…,

∴y′|_x=1=2,切线的方程为y-2=2(x-1),与x轴的交点(0,0)所围成的三角形的面积S=(3-0)×6=9.

答案 C

5.★曲线y=x²+1在点(1,2)处的切线与x轴、直线x=3所围成的三角形的面积为(    )

A.13           B.14           C.9           D.10

分析 本题考查导数的相关知识及三角形的面积公式.

解 ∵y=x²+1,∴y′=2x.

∴y₁′|_x=1=2,y₂′|_x=1=3,y₃′|_x=1=2cos1.

∴k₃<k₁<k₂.

答案 D

4.已知曲线y₁=x²,y₂=x³,y₃=2sinx,这三条曲线与x=1的交点分别为A、B、C,又设k₁、k₂、k₃分别为经过A、B、C且分别与这三条曲线相切的直线的斜率,则(    )

A.k₁<k₂<k₃                    B.k₃<k₂<k₁

C.k₁<k₃<k₂                    D.k₃<k₁<k₂

分析 本题主要考查导数的几何意义及导数的运算法则.

解 ∵y₁′=2x,y₂′=3x²,y₃′=2cosx,

得x=±.

所以符合条件的切线有2条.

答案 B

3.已知f(x)=x³的切线的斜率等于1,则这样的切线有(   )

A.1条                      B.2条

C.多于2条                 D.不能确定

分析 本题主要考查导数的几何意义的应用.切线的条数是由切点的个数确定的.

解 f′(x)=3x²,由f′(x)=3x²=1,