(2)f′(t)=-t²+.                           6分

即f(t)=-(t³-t)(0<t<1).                       4分

f(t)=S_△ABD+S_△OBD=|BD|?|1-0|=|BD|=(-2t³+3t-t³)=(-3t³+3t),

解 (1)解方程组

得交点O、A的坐标分别为(0,0)、(1,1).         2分

19.(本小题满分10分)如右图,已知曲线C₁:y=x³(x≥0)与曲线C₂:y=-2x³+3x(x≥0)交于点O、A,直线x=t(0<t<1)与曲线C₁、C₂分别相交于点B、D.

(1)写出四边形ABOD的面积S与t的函数关系S=f(t);

(2)讨论f(t)的单调性,并求f(t)的最大值.

分析 本题主要考查如何以四边形的面积为载体构造目标函数、函数的导数、函数的单调性等基础知识,考查运算能力和利用导数研究函数的单调性,从而确定函数的最值.

∴函数解析式为f(x)=x²+2x+1.   10分

∴Δ=4-4c=0,即c=1.           8分

由条件f′(x)=2x+2,得a=1,b=2.

∴f(x)=x²+2x+c.               5分

∵方程f(x)=0有两个相等实根,

18.(本小题满分10分)设y=f(x)是二次函数,方程f(x)=0有两个相等的实根且f′(x)=2x+2,求f(x)的表达式.

分析 本题主要考查导数运算的逆运用.利用待定系数法设函数解析式,代入条件求解.

解 设f(x)=ax²+bx+c(a≠0),      2分

∴f′(x)=2ax+b.               3分

f′(1)=    8分