作PM⊥平面，垂足为M，作QN⊥平面，垂足为N，则PM∥QN，M、N分别是正△ABD与正△BCD的中心，从而点A、M、E、N、C共线，PM与QN确定平面PACQ，且PMNQ为矩形．  …………6分

（Ⅰ）求证：PQ⊥BD；

（Ⅱ）求二面角P-BD-Q的余弦值；

（Ⅲ）求点P到平面QBD的距离.

解：（Ⅰ）由P-ABD，Q-CBD是相同正三棱锥，可知△PBD与△QBD是全等等腰三角形  …１分

取BD中点E，连结PE、QE，则BD⊥PE，BD⊥QE．故BD⊥平面PQE，从而BD⊥PQ．  ………4分

（Ⅱ）由（1）知∠PEQ是二面角P-BD-Q的平面角                     ……………………５分

32、(广东省湛江师范学院附中2009年高考模拟试题)如图，某建筑物的基本单元可近似地按以下方法构作：先在地平面内作菱形ABCD，边长为1，∠BAD＝60°,再在的上方，分别以△与△为底面安装上相同的正棱锥P－ABD与Q－CBD，∠APB＝90°．

在Rt△PEF中，EG=为所求……………………………… （12分）

∵CD侧面PCD，AB侧面PCD，∴AB//侧面PCD

取CD中点F，连EF、PF，则EF⊥AB

又∵PE⊥AB，∴AB⊥平面PEF

又∵AB//CD，∴CD⊥平面PEF，∴平面PCD⊥平面PEF…………………（10分）

作EG⊥PF，垂足为G，则EC⊥平面PCD

在Rt△PEC中，∠PCE=45°为所求…………………………………………（8分）

（3）解：在矩形ABCD中，AB//CD

又∵BC侧面PBC，∴侧面PAB⊥侧面PBC………………… （4分）

（2）解：取AB中点E，连结PE、CE

又∵△PAB是等边三角形，∴PE⊥AB

又∵侧面PAB⊥底面ABCD，∴PE⊥面ABCD

∴∠PCE为侧棱PC与底面ABCD所成角………………………………………（6分）

31、(河南省实验中学2008-2009学年高三第一次月考)如图，四棱锥P―ABCD的底面是AB=2，BC=的矩形，侧面PAB是等边三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD．

（1）证明：侧面PAB⊥侧面PBC；

（2）求侧棱PC与底面ABCD所成的角；

（3）求直线AB与平面PCD的距离．

（1）证明：在矩形ABCD中，BC⊥AB

又∵面PAB⊥底面ABCD侧面PAB∩底面ABCD=AB，∴BC⊥侧面PAB…（2分）

      又由RtΔA₁AB知，∠AA₁D＋＝∠AA₁B＋＝，故θ＋＝………12分

      于是在RtΔADC中，sinθ=,在RtΔADA₁中，sin∠AA₁D＝,………………10分

      ∴sinθ=sin∠AA₁D,由于θ与∠AA₁D都是锐角，所以θ＝∠AA₁D.