∴四边形FGCD为平行四边形，∴FD∥GC，又GC面ABC，

    ∴FD∥面ABC.

（2）∵AB=EA，且F为EB中点，∴AF⊥EB  ①  又FG∥EA，EA⊥面ABC

∴FG⊥面ABC ∵G为等边△ABC，AB边的中点，∴AG⊥GC.

∴AF⊥GC又FD∥GC，∴AF⊥FD  ②

∴FG=EA，又EA、DC都垂直于面ABC,  FG=DC，

（1）求证：FD∥平面ABC；

（2）求证：AF⊥BD；

 (3) 求二面角B―FC―G的正切值.

证：(1)∵F、G分别为EB、AB的中点，

57、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)如图，几何体ABCDE中，△ABC是正三角形，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a， DC=a，F、G分别为EB和AB的中点.

    故截面BEF分三棱锥P―ABC所成两部分体积的比为1∶2或2∶1

又DE平面BDE，∴平面BDE⊥平面BDF．

  （3）设点E和点A到平面PBC的距离分别为h₁和h₂．则

           h₁∶h₂=EP∶AP=2∶3,

  （2）由BD⊥平面PAC，DE平面PAC，得BD⊥DE．由D、F分别为AC、PC的中点，得DF//AP．

由已知，DE⊥AP，∴DE⊥DF. BD∩DF=D，∴DE⊥平面BDF．

由AB=BC，D为AC的中点，得BD⊥AC．又PC∩AC=C，∴BD⊥平面PAC． 又PA平面、PAC，∴BD⊥PA．由已知DE⊥PA，DE∩BD=D，∴AP⊥平面BDE．

(1）∵PC⊥底面ABC，BD平面ABC，∴PC⊥BD．

D、F分别为AC、PC的中点，DE⊥AP于E．

    （1）求证：AP⊥平面BDE；                

（2）求证：平面BDE⊥平面BDF；

（3）若AE∶EP=1∶2，求截面BEF分三棱锥

P―ABC所成两部分的体积比．