59、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)如图4，在长方体中，AD==1，AB=2，点E在棱AB上移动。

P₁Q₁=.?

，而棱长CD=1.     ∴DQ₁=.  同理可求得 P₁D=.

在Rt△P₁DQ₁中，应用勾股定理, 立得

（3）由（1）知P₁Q₁ PQ,

（2）AD⊥平面D₁DCC₁，    ∴AD⊥P₁Q₁，?

又∵PQ∥P₁Q₁，   ∴AD⊥PQ.?

而P₁Q₁平面CDD₁C₁，  所以PQ∥平面CDD₁C₁?

    ∵ ,     ∴PP₁QQ₁ .?

由四边形PQQ₁P₁为平行四边形,   知PQ∥P₁Q₁? ?

58、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)如图，正方体ABCD―A₁B₁C₁D₁的棱长为1，P、Q分别是线段AD₁和BD上的点，且D₁P∶PA=DQ∶QB=5∶12.

(1) 求证PQ∥平面CDD₁C₁；

(2) 求证PQ⊥AD；

 (3) 求线段PQ的长.

（1）在平面AD₁内，作PP₁∥AD与DD₁交于点P₁，在平面AC内，作

QQ₁∥BC交CD于点Q₁，连结P₁Q₁.

易求.

由①、②知AF⊥面EBD，又BD面EBD，∴AF⊥BD.

    （3）由（1）、（2）知FG⊥GB，GC⊥GB，∴GB⊥面GCF.

过G作GH⊥FC，垂足为H，连HB，∴HB⊥FC.

∴∠GHB为二面角B-FC-G的平面角.