所以，二面角     的大小为
　　方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点。设
　　(I)证明：连结AC，AC交BD于G。连结EG。 依题意得
　　底面ABCD是正方形， 是此正方形的中心， 　故点G的坐标为且
　　
　　。这表明。
　　而平面EDB且平面EDB，平面EDB。
　　(II)证明：依题意得。又故
　　　
　　由已知，且所以平面EFD。
　　(III)解：设点F的坐标为则
　　
　　从而所以
　　
　　由条件知，即
　　解得 。
　　点F的坐标为且
　　
　　
　　即，故是二面角的平面角。
　　且
　　
67、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)如图，在棱长为1的正方体ABCD―A₁B₁C₁D₁中，点E是棱BC的中点，点F是棱

CD上的动点.

（I）试确定点F的位置，使得D₁E⊥平面AB₁F；

（II）当D­₁E⊥平面AB₁F时，求二面角C₁―EF―A的大小（结果用反三角函数值表示）.

本小题主要考查线面关系和正方体等基础知识，考查空间想象能力和推理运算能力，满分12分.

66、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，，E是PC的中点，作交PB于点F。
　　(I)证明 平面；
　　(II)证明平面EFD；
　　(III)求二面角的大小。
方法一：
　　(I)证明：连结AC，AC交BD于O。连结EO。
　　底面ABCD是正方形，点O是AC的中点
　　在中，EO是中位线，。
　　而平面EDB且平面EDB，
　　所以，平面EDB。
　(II)证明：底在ABCD且底面ABCD，
　　 ① 　　同样由底面ABCD，得
　　底面ABCD是正方形，有平面PDC
　　而平面PDC， ②　　　　 ………………………………6分
　　由①和②推得平面PBC 　而平面PBC，
　　又且，所以平面EFD
(III)解：由(II)知，，故是二面角的平面角
　　由(II)知， 设正方形ABCD的边长为，则
　　 在中，
　　 　在中，
　　

（3）

解（1）                                

（2）略

(Ⅱ)设O点在平面D₁AP上的射影是H，求证：D₁H⊥AP；

(Ⅲ)求点P到平面ABD₁的距离.

65、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)在棱长为4的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O是正方形A₁B₁C₁D₁的中心，点P在棱CC₁上，且CC₁=4CP.

(Ⅰ)求直线AP与平面BCC₁B₁所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；

即二面角P―AB―F的平面角的余弦值为