=（-4，0，4）          

=（-4，4，-4），=（0，4，4），

B₁（4，4，0）、E（2，0，8）、A（4，0，8）、B（4，4，8）、

F（0，4，4）。            

69、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)已知长方体ABCD―A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=4，AA₁=8，E、F分别为AD和CC₁的中点，O₁为下底面正方形的中心。

    （Ⅰ）证明：AF⊥平面FD₁B₁；

（Ⅱ）求异面直线EB与O₁F所成角的余弦值；               

解 本题考查空间的线面关系，向量法及其运算。

（Ⅰ）证法一：如图建立空间直角坐标系。则D₁（0，0，0）、O₁（2，2，0）

∴二面角B-PQ-D大小为arctan

    由△GHQ∽△QC₁P得GH=，又BG=1，得tan∠BHG=

PF=，PE=2  ∴EF=  又D₁E=，D₁D=1，∴AD=1    

取CD中点G，连BG，由AB∥DG，AB=DG得GB∥AD。∵AD⊥DC，AD⊥DD₁∴AD⊥平面DCC₁D₁，则BG⊥平面DCC₁D₁

    过G作GH⊥PQ于H，连BH，则BH⊥PQ，故∠BHG是二面角B-PQ-D的平面角。                                                    

又D₁Q=AB=1，D₁Q∥AB，

得平行四边形ABQD₁，故AD₁∥平面BPQ

∴平面ACD₁∥平面BPQ

  ∴AC∥平面BPQ         （4分）

⑵设DD₁中点为E，连EF，则PE∥CD

∵CD⊥AD，CD⊥DD₁   ∴CD⊥平面ADD₁

∴PE⊥平面ADD₁

过E作EF⊥AD₁于F，连PF。则PF⊥AD₁，PF为点P到直线AD₁的距离

AD₁的距离为

⑴求证：AC∥平面BPQ

⑵求二面角B-PQ-D的大小

⑴连接CD₁ ∵P、Q分别是CC₁、C₁D₁的         

中点。∴CD₁∥PQ  故CD₁∥平面BPQ

梯形，AB∥CD，AD⊥DC，CD=2，DD₁=AB=1，P、Q分别是CC₁、C₁D₁的中点。点P到直线