14、(湖南省衡阳市八中2009届高三第三次月考试题)二次函数

解：(1)设n＝2k(k∈N^*)
∵a_2n＋2＝(1＋2|coskπ|)a_2k＋|sinkπ|＝3a_2k，
又a₂＝3，
∴当k∈N^*时，数列{a_2k}为首项为3，公比为3的等比数列；   ……3'
(2)设n＝2k－1(k∈N^*)
由a_2k＋1＝(1＋2|cos(k－)π|)a_2k－1＋|sin(k－)π|＝a_2k－1＋1
∴当k∈N^*时，{a_2k－1}是等差数列
∴a_2k－1＝a₁＋(k－1)?1＝k ……5'
又由(1)当k∈N^*时，数列{a_2k}为首项为3，公比为3的等比数列
∴a_2k＝a₂?3^k－1＝3^k   ……6'
综上，数列{a_n}的通项公式为a_n＝   ……7'
(3)b_k＝a_2k＋(－1)^k－1λ?2＝3^k＋(－1)^k－1λ?2^k，
∴b_k＋1－b_k＝3^k＋1＋(－1)^kλ?2^k＋1－3^k－(－1)^k－1λ?2^k
         ＝2?3^k＋(－1)^kλ?3?2^k
由题意，对任意k∈N^*都有b_k＋1＞b_k成立
∴b_k＋1－b_k＝2?3^k＋(－1)^kλ?3?2^k＞0恒成立
Þ  2?3^k＞(－1)^k－1λ?3?2^k对任意k∈N^*恒成立 ……9'
①当k为奇数时，2?3^k＞λ?3?2^k  Þ  λ＜对任意k∈N^*恒成立
∵k∈N^*，且k为奇数，∴≥＝1
∴λ＜1  ……10'
②当k为偶数时，2?3^k＞－λ?3?2^k  Þ  λ＞－对任意k∈N^*恒成立
∵k∈N^*，且k为偶数，∴－≤－，∴λ＞－   ……11'
综上：有－＜λ＜1   ……12'
∵λ为非零整数，∴λ＝－1.

(3)设b_k＝a_2k＋(－1)^k－1λ?2(λ为非零整数)，试确定λ的值，使得对任意k∈N^*都有b_k＋1＞b_k成立.

13、(四川省成都市高2009届高中毕业班第一次诊断性检测)已知数列{a_n}满足a₁＝1，a₂＝3，且a_n＋2＝(1＋2|cos|)a_n＋|sin|，n∈N^*.

(1)证明：数列{a_2n}(k∈N^*}为等比数列；

(2)求数列{a_n}的通项公式；

答案：（1）  （2）（3）略

   （3）证明：

   （2）若数列满足，证明：是等差数列；

   （1）求数列的通项公式；

12、(哈尔滨市第九中学2008―2009学年度高三第三次月考)已知数列满足

答案：（1）；（2）；（3）