（Ⅲ）设，是数列的前项和，，，试证明：．

解：（Ⅰ）当n≥2时，2a_n＝3S_n－4＋2－S_n，

即2(S_n－S_n－1)＝3S_n－4＋2－S_n，

所以S_n＝ S_n－1＋2

∴(n≥2)

又2＋a₂＝×2＋2＝3  Þ  a₂＝1  Þ 

∴数列{a_n}是首项为2，公比为的等比数列

∴a_n＝2^2－n(n∈N^*)

（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n＝2^2－n(n∈N^*)

则T_n＝b₁＋b₂＋……＋b_n

    ＝2×2＋3×1＋4×＋……＋(n＋1)×2^2－n

∴ T_n＝    2×1＋3×＋……＋n×2^3－n＋(n＋1)×2^2－n,

作差得： T_n＝2×2＋1＋＋＋……＋2^3－n－(n＋1)2^2－n

            ＝6－

∴T_n＝12－(n∈N^*)

（Ⅱ）设，是数列的前项和，求；

21、(四川省成都市2009届高三入学摸底测试)已知数列的首项为，前项和为，且对任意的，当n≥2时，a_n总是3S_n－4与2－S_n的等差中项．

（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；

于是当时，综上所述，当时，

   所以当时，.因此当时，

   令，则

   由(1)、(2)所述，当n≥6时，.即当n≥6时，

证法二

   则当n=k+1时，

   (2)假设当时不等式成立，即

   (1)当n = 6时，成立.