则,所以单调增区间为(0,+∞),令,所以单调减区间为(-1,0).2分
解:(1)当a=1时,
(2)证明:
(1)当a=1时,试求函数的单调区间,并证明此时方程=0只有一个实数根,并求出此实数根;
4、(辽宁省大连市第二十四中学2009届高三高考模拟)已知
3、(揭阳市云路中学2009届高三数学第六次测试)设定义在R上的函数f (x)=a0x4+a1x3+a2x2+a3x (a i∈R,i=0,1,2,3 ),当时,f (x)取得极大值,并且函数y=f¢ (x)的图象关于y轴对称。
(1)求f (x)的表达式;
(2)试在函数f (x)的图象上求两点,使以这两点为切点的切线互相垂直,且切点的横坐标都在区间[-1,1]上;(3)求证:|f (sin x)-f (cos x) | ≤ (x∈R).
解:∵f¢ (x)=
∴ -
∴
∴ a0=a2=0,∴f (x)=a1x3+a3x
又当x=-时,f (x)取得极大值
∴ 解得∴f (x)=x3-x,f¢ (x)=2x2-1 4分
⑵解:设所求两点的横坐标为x1、x2 (x1 < x2),则(2x12-1)(2x22-1)=-1
又∵x1,x2∈[-1,1],∴2x12-1∈[-1,1],2x22-1∈[-1,1]
∴2x12-1,2x22-1中有一个为1,一个为-1,
∴或 ,∴所求的两点为(0,0)与(1,-)或(0,0)与(-1,)。
⑶证明:易知sin x∈[-1,1],cos x∈[-1,1]。
当0< x < 时,f ¢ (x) < 0;当 < x < 1时,f ¢ (x)>0。
∴f (x)在[0,]为减函数,在[,1]上为增函数,
又f (0)=0,f ()=- ,f (1)=-,而f (x)在[-1,1]上为奇函数,
∴f (x)在[-1,1]上最大值为,最小值为-,即 | f (x) | ≤ ,
∴| f (sin x) | ≤ ,| f (cos x)| ≤ , ∴| f (sin x)-f (cos x)| ≤ | f (sin x)|+| f (cos x) | ≤
因此,当时,取得最小值,元.
答:为了使楼房每平方米的平均综合费最少,该楼房应建为15层。
当时,;当时,,
则,令,即,解得
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