(2)

(3)函数的增区间是(-∞,+∞),无单调减区间

练习：一个函数y=f(x)关于直线x=a对称，在[a+1,a+2]上单调增，则它在[a-2,a-1]上的单调性如何？在[a+1,a+2]上单调减呢？由此你能得到什么结论？（单调减，单调增，关于x=a对称的函数在对称轴两侧对称区间上单调性相反）

思考：将上面练习中的直线x=a改成点(a,0),结论又如何？（关于点(a,0)对称的函数在对称中心两侧对称区间上单调性相同）

解：(1)x<2时，f(x)=-f(4-x)=-lg(4-x-1)=-lg(3-x)∴f(x)=

例2、函数y=f(x)关于点(2,0)对称，当x≥2时，f(x)=lg(x-1),(1)求函数的解析式；(2)作出函数的图象；(3)指出函数的单调区间

例1、已知函数y=f(x)满足：对任意x，f(2+x)=f(2-x),如果函数y=f(x)有两个不同的零点，求此两个零点的和

解：由已知，函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称，两个不同零点也关于直线x=2对称，设为x₁,x₂,于是2-x₁=x₂-2,x₁+x₂=4

变形1：有3个、4个、5个、n个零点，零点和各是多少呢？（6，8，10，2n）

变形2：已知条件改为“对任意x，f(2+x)=f(2-x),f(7+x)=f(7-x)且f(0)=0”则函数y=f(x)在[0,10]、[-10,10]、[-100,100]各有多少个零点？（3，5，3×20-19=41）

结论2：函数y=f(x)关于点(a,0)对称f(a+x)=-f(a-x)(或表达为f(a+x)+f(a-x)=0)f(2a-x)=-f(x)（或f(2a-x)+f(x)=0）

思考1：一个函数y=f(x)的图象能否关于直线y=b对称？（除了函数f(x)=b外，其余不能，否则一个x对应两个y就不再是函数）

思考2：函数y=f(x)图象关于点(a,b)对称，式子满足什么特征？（f(x)+f(2a-x)=2b或者写成f(a-x)+f(a+x)=2b）

三、结论应用：

结论1：一个函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称f(a-x)=f(a+x)f(2a-x)=f(x)

仿照上面过程，请你导出函数y=f(x)关于点(a,0)对称式子满足的特征。

f(a-x)=f(a+x).      

   从数的形式上看，由相关点法的基本原理，设(x,f(x))是y=f(x)图象上任意一点，它关于直线x=a的对称点(x₁,f(x))在函数图象上，从而f(x₁)=f(x),而x与x₁到x轴上a对应的点的距离相等，于是a-x=x₁-a,x₁=2a-x,从而f(x₁)=f(2a-x),于是f(2a-x)=f(x)（如图2）

从图象观察出的结论与实际作出的结论形式不一样！是否一致呢？

一方面，由f(2a-x)=f(x)对任意x成立，当然对a+x也成立，于是f[2a-(a+x)]=f(a-x)=f(a+x)；

另一方面，由f(a-x)=f(a+x)成立，f(2a-x)=f[a+(a-x)]=f[a-(a-x)]=f(x),于是我们得到：

4、更一般的，如果一个函数y=f(x)关于直线x=a与点(a,0)对称，函数式子有什么特征呢？引入标题――函数图象的对称性

从图象观察，一个关于直线x=a对称的函数y=f(x),它应该满足什么特征？

3、对于函数f(x)=x²-2x+3与y=的图象各有什么对称特征？（前者关于直线x=1对称，后者关于点(1,0)对称）

2、 对于一个具有奇偶性的函数y=f(x)的特征有：

名称

函数的式子特征

函数的图象特征

奇函数

f(-x)=-f(x)

关于原点对称

偶函数

f(-x)=f(x)

关于y轴对称